Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Из пункта А в пункт Б вышел Парамон. В 1200 , когда он прошёл половину пути до Б, вслед за ним из А в Б выбежал Агафон, и одновременно из Б в А вышел Соломон. В 1320 Агафон встретился с Соломоном, а в 1400 догнал Парамона. Во сколько произошла встреча Парамона и Соломона?
откуда 
Следовательно, Парамон и Соломон встретятся через 
час после полудня, то есть в 13 часов.
а второго 
их сумма равна единице. Тогда 
, откуда 
(все дроби с натуральными числителем и знаменателем, сумма числителя и знаменателя которых равна 101) выбрать три, произведение которых равно 1?
произведение которых равно 1. Тогда 
Две окружности пересекаются в точках А и В, и центр О первой из них лежит на второй. На второй окружности выбрана некоторая точка S, отрезок SО пересекает первую окружность в точке Р. Доказать, что Р является центром вписанной окружности треугольника АВS.
Таким образом, Р является точкой пересечения биссектрис углов АSВ и АВS и центром вписанной окружности треугольника АВS.Множество Х различных натуральных чисел, не превосходящих n таково, что сумма любых двух, в том числе и совпадающих, элементов Х, не превосходящая n, тоже принадлежит Х. Доказать, что среднее арифметическое всех чисел множества Х не меньше 
Сначала рассмотрим сумму 
она больше xm и не может лежать в Х, следовательно, по условию 
Аналогично, для произвольного 
имеем: 
Если 
то все суммы 
будут k различными членами Х, большими 
что невозможно, поскольку больше 
только 
— 
элементов Х, противоречие. Следовательно, для каждого 
имеем 
При нечётном m в частности, 
Суммируя полученные равенства, получим 
откуда следует утверждение задачи.
.
.
При таком значении q числа 1, q, q3 удовлетворяют условию задачи.Два коридора высотой и шириной в 1 м идут перпендикулярно друг другу по первому и второму этажу здания. Разделяющее их перекрытие разобрано, образуя дыру 1 
1 м в полу одного и потолке другого. Какова максимальная длина балки, которую можно передать из одного коридора в другой через дыру? (Балку считать негнущимся отрезком нулевой толщины. Толщина перекрытия также равна нулю, т. е. пол верхнего коридора и потолок нижнего коридора находятся в одной плоскости.)
— указанную в ответе длину балки, PQRS — квадрат, образующий дыру.
Производная этой функции равна 
Отсюда видно, что минимум функции достигается при 
Подставляя это значение в выражение для AX, получаем после преобразований min(AX) = d (напомним, d обозначает число, указанное в ответе). Таким образом, длина AX всё время не меньше длины балки (в частности при 
), т. е. точка B никогда не выходит за пределы отрезка AX, а значит и за пределы коридоров, что и требовалось. 
Поскольку движение балки непрерывно, при любом способе передачи возникнет момент, когда точка O окажется в плоскости PQRS. Покажем, что в этот момент длина балки не может быть больше d.
и 
— вертикальные плоскости, проходящие через O параллельно осям верхнего и нижнего коридора соответственно, zA — расстояние от A до плоскости PQRS, xA — расстояние от A до 
yA — расстояние от A до 
zB, xB, yB — аналогичные расстояния для точки B. (На рисунке ниже слева изображён "вид сверху" в проекции на плоскость PQRS, плоскости и проецируются в прямые, отрезки zA и zB не видны, т. к. проецируются в точки A и B соответственно. Точка O находится в плоскости PQRS).
Кроме того, 
Тогда длина всей балки:
Таблица n × n заполняется натуральными числами от 1 до 2016 так, чтобы ни в одной строке и ни в одном столбце не было двух одинаковых чисел. Совпадение чисел, стоящих в разных строках и столбцах, допускается. Пусть f (n) — количество таких расстановок. Например f (1) = 2016, f (2017) = 0.
а) Что больше, f (2015) или f (2016)?
б) Что больше, f (1008) или f (1009)?
то 
является инъективным (смысл термина будет разъяснён далее), и при этом его образ не покрывает всего множества S2015. Отсюда будет следовать требуемое неравенство.
Тогда существует не более одной таблицы 
такой, что 
последняя строка содержит неизвестные числа 
т. е. для ai остаётся единственное возможное значение. Следовательно, все числа 
однозначно определяются по таблице y. Аналогично, рассматривая столбцы, однозначно восстанавливаем числа bj.
не
и 
то 
(Отображение g с таким свойством в математике называется инъективным).
такая, что любое 
в первой строке которой написаны подряд числа 
а в следующих строках — те же числа, сдвигаемые по циклу каждый раз на 1:
что противоречит условию. Следовательно, искомой таблицы x не существует.
из множества S2016. Рассмотрим следующую диаграмму отображения g:
в каждую таблицу множества S1008 отображается более одной таблицы множества S1009. Отсюда будет следовать требуемое неравенство.
таких, что 
:
построить не менее 1007 различных таблиц x, удовлетворяющих равенству 
которого нет ни в первой строке, ни в первом столбце таблицы y. Положим a1 и b1 равными тому числу. Т. е. согласно нашему выбору a1 = b1.
будем последовательно выбирать числа ai так, чтобы число ai не равнялось ни одному из чисел в i-й строке таблицы y, а также не равнялось уже выбранным числам 
Такой выбор всегда существует, т. к. "запрещёнными" оказываются всегда не более 1008 + 1007 = 2015 чисел.
будем последовательно выбирать числа bj так, чтобы число bj не равнялось ни одному из чисел в j-м столбце таблицы y, а также не равнялось числам 
(нестрогое неравенство).Вокруг треугольника ABC с углом ∠B = 60° описана окружность. Касательные к окружности, проведённые в точках A и C, пересекаются в точке B1. На лучах AB и CB отметили точки A0 и C0 соответственно так, что AA0 = AC = CC0. Докажите, что точки A0, C0, B1 лежат на одной прямой.
то получим:
т. е. точка A0 расположена внутри ∠AB1C, см. рис. слева. Аналогично треугольник C0CB1 равнобедренный, и 
Сумма этих углов равна:
получаем:
Функция f (x), определённая при всех действительных x, является чётной. Кроме того, при любом действительном x выполняется равенство
а) Приведите пример такой функции, отличной от константы.
б) Докажите, что любая такая функция является периодической.
Чётность очевидна, проверим второе условие:
т. е.
при любом x, т. е. функция периодична с периодом 20.Петя хочет проверить знания своего брата Коли — победителя олимпиады ”Высшая проба” по математике. Для этого Петя задумал три натуральных числа a, b, c, и вычислил x = НОД(a, b), y = НОД(b, c), z = НОД(c, a). Затем он написал на доске три ряда по пять чисел в каждом:
6, 8, 12, 18, 24
14, 20, 28, 44, 56
5, 15, 18, 27, 42
Петя сообщил Коле, что одно из чисел в первом ряду равно x, одно из чисел во втором ряду равно y, одно из чисел в третьем ряду равно z, и попросил угадать числа x, y, z. Подумав несколько минут, Коля справился с задачей, правильно назвав все три числа. Назовите их и вы. Докажите, что существует единственная такая тройка (x, y, z).
или 
Далее, оба числа 18 и 42 делятся на 3, т. е. 
Во второй строке нет чисел, делящихся на 3, т. е. 
Далее, 
Наконец, 
возможны, например, при 
если известно, что 
и сумма первых двух слагаемых выражения равна третьему.
и приведём к общему знаменателю: 
Ввиду 
сокращаем 
и 
: 
Последнее равносильно 
снова сокращаем 
получаем 
а искомое выражение равно 
По координатной плоскости, стартуя в начале координат, прыгает кузнечик. Первый прыжок длины один см направлен вдоль оси ОХ, каждый следующий прыжок на 1 см длиннее предыдущего, и направлен перпендикулярно предыдущему в одну из двух сторон по его выбору. Сможет ли кузнечик после сотого прыжка оказаться в начале координат?
для некоторых 
Тогда 
поэтому 
Следовательно, добавив, при необходимости к числам a, b единицы в количестве, равном 
получим множество натуральных чисел, сумма и произведение которых равны n.В треугольнике АВС отрезки АК, ВL и СМ — высоты, Н — их точка пересечения, S — точка пересечения МК и ВL, Р — середина отрезка АН, Т — точка пересечения прямой LР и стороны АВ. Доказать, что прямая SТ перпендикулярна стороне ВС.
Отсюда 
— произвольные действительные числа. Доказать, что найдётся натуральное k, 
такое, что все k средних арифметических 
не превосходят 
обозначим среднее арифметическое чисел 
через Si. Докажем, что в качестве искомого можно взять любое k такое, что Sk минимально среди всех 
Для любого 
запишем:
и 
что и требовалось доказать. 
без обоснования.
то есть 
имеет ровно три решения.
имеет ровно три общие точки с графиком функции 
Поскольку левая ветвь графика при p > 0 пересекает параболу ровно в двух точках, то правая ветвь должна касаться параболы.
имеет ровно одно решение, то есть когда дискриминант равен 0:
Егоров решил открыть накопительный вклад для покупки автомобиля стоимостью 900000 руб. Начальная сумма вклада равна 300000 руб. Через месяц и далее ежемесячно Егоров планирует пополнять свой вклад на 15000 руб. Банк начисляет ежемесячно проценты по ставке 12% годовых. Начисленные за месяц проценты перечисляются на вклад, и в следующем месяце на них также начисляются проценты. Через какое наименьшее число месяцев на вкладе будет сумма достаточная для покупки автомобиля?
Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
тогда
