Всего: 66 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–66
Добавить в вариант
где b — цифра единиц. Тогда по условию 
Откуда 
или 
Так как b — цифра, то отсюда следует, что единственным искомым числом является 18.
то 
при любых a, b . Поэтому 
что и требовалось доказать.
На стороне AB вне треугольника построен квадрат с центром O. Найдите OC, если 
значит, 
квадрата, то есть его центром. Тогда OC — радиус этой окружности. Таким образом, 
Докажите, что число 
является точным квадратом.
следует, что 
Тогда 
также является целым, что и требовалось.
и 
могут быть тремя последовательными членами геометрической прогрессии.
то все члены прогрессии нулевые. Случай 
системы 
в прямоугольнике 
и 
неравенства (*) и (**) ограничивают параллелограмм, внутри которого только две точки 
и 
с целочисленными координатами. Им соответствуют решения 
Отрезок 
длины 5 двигается на координатной плоскости так, что его концы лежат на параболе 
Точка M — середина отрезка 
Найти минимально возможное значение расстояния точки M до оси абсцисс, а также абсциссу точки M, при которой оно достигается.
из равенства, получаем:
Преобразуем выражение (**): 
Тогда расстояние точки M до оси абсцисс равно 
то минимальное расстояние равно 
то с учетом роста функции 
на полуоси 
и принимает минимальное значение 
с учетом ограничения 
при 
для 
для 
при 
для 
где t — целое число на интервале 
обозначим через 
Заметим, что 
для допустимых значений 
и 
Общее число кодов равно 
Тогда 
удовлетворяющими второму уравнению системы, является границей квадрата с центром в начале координат и сторонами, параллельными координатным осям рис. 1. Множество точек, координаты которых удовлетворяют второму уравнению системы, является границей квадрата ABOD рис. 2 с диагональю длины 
Координаты его вершин 
находятся внутри большого: 
система решений не имеет. При увеличении a на число кратное 
картина повторяется, Итак, система имеет единственное решение при 
или в другой форме записи 
где N, M — середины сторон основания, 
: 
—
уравнение для R:
приводит к кубическому уравнению 
Им соответствуют три решения: 
На интервале 
справедливо неравенства 
выполнено неравенство 
(ОДЗ), 
где [a] — целая часть числа a — наибольшее целое число не 
Тогда 
Робот может совершать равные по длине шаги по дорожке вперед и назад, при этом выбор направления движения каждого шага является случайным и равновозможным. Робот сделал 10 шагов и остановился. Найти вероятность того, что он окажется на расстоянии более двух шагов от начала движения.
Если шагов два, то существует три возможных положения робота в конце движения, условно обозначенных на рисунке.
В положение 0 можно попасть из положений −1 и 1 после первого шага, совершив шаги вперед и назад соответственно. Тогда вероятность попадания в положение 0 после двух шагов равна
определяется треугольником Паскаля. Предположим, что робот сделал до остановки k шагов. Тогда существует 
возможных положений, в которых он может остановиться. Крайние из них находятся на расстоянии k шагов от начального положения движения. Расстояние между соседними положениями равно двум шагам. На рис. изображены эти положения для четных и нечетных k. 
вероятность остановки в положении равна 
в положении 
(на расстоянии 2 шага от начала движения) эта вероятность равна 
в положение 
(на расстоянии 4 шага от начального положения) 
и т. д. в положении 
эта вероятность равна 
В варианте 
Вероятность остановится в положении, отстоящем от начального не более двух шагов, равна 
Для 
вероятность остановки в положении 
равна 
(на расстоянии 3 шага от начала движения) — 
происходит с вероятностью 
имеет решения на отрезке 
Замена 
приводит к задаче нахождения области значений функции 
Исследование функции: Производная 
поэтому 
Плоскости P и Q, параллельные основанию правильной четырехугольной пирамиды SABCD, пересекают ребро SA пирамиды в точках M и N. Длины отрезков SM, SN и SA являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии с знаменателем 
Найти двугранный угол при основании пирамиды, если известно, что в усеченную пирамиду с плоскостями оснований P и Q можно вписать шар.
и 
Тогда 
с коэффициентом подобия q и 
с коэффициентом подобия 
По условию, в усеченную пирамиду можно вписать шар, а значит, в трапецию mnрk можно вписать окружность. Так как образом при преобразовании подобия с центром в точке S и коэффициентом подобия q отрезка mp является отрезок nk, а отрезок 
переходит в отрезок EF, то окружность радиуса r с центром в точке w переходит в окружность радиуса 
с центром в точке O, вписанную в трапецию EnkF. Аналогично, окружность с центром в точке w является образом окружности радиуса ρ, вписанной в треугольник Smp. Из подобия треугольников OTS и FzS имеем 
Если 
то 
удовлетворяют соотношению 
для любых n и целом a. При каких a число 637 является членом последовательности?
может быть целым для 
то есть существует восемь таких значений 
для 
и 
и 
и 
причем на них достигается наибольшее значение функции y(x), 
и 
Если 
то оно имеет по крайней мере один простой делитель p: 
и 
Тогда общее число различных делителей числа a не меньше 
и общее число делителей числа a равно 
