сайты - меню - вход - но­во­сти


Поиск
?


Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 6 7 8 9

Всего: 876    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80

Добавить в вариант

В этой за­да­че за­пись x \bmod n, где x  — целое а n  — на­ту­раль­ное, обо­зна­ча­ет такое целое число y от 0 до n – 1, что x – y де­лит­ся на n. Су­ще­ству­ет ли такая функ­ция f, опре­де­лен­ная для целых зна­че­ний ар­гу­мен­та и при­ни­ма­ю­щая целые зна­че­ния, что при любом целом x верно

 f левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \bmod 7 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \bmod 11?


В тре­уголь­ни­ке ABC точки A1, B1, C1  — се­ре­ди­ны сто­рон BC, AC, AB со­от­вет­ствен­но. Точки A2, B2, C2  — се­ре­ди­ны ло­ман­ных BAC, ABC, ACB со­от­вет­ствен­но (точка на­зы­ва­ет­ся се­ре­ди­ной ло­ман­ной если при­над­ле­жит ло­ман­ной и делит ее на две ло­ман­ных рав­ной длины). До­ка­жи­те, что пря­мые A1A2, B1B2, C1C2 про­хо­дят через одну точку.


Вася при­шел в ка­зи­но, имея один вшэ-коин (един­ствен­ную в мире вир­ту­аль­ную ва­лю­ту, ко­то­рую можно де­лить на любые части; на­при­мер, можно по­ста­вить на кон  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби вш­эко­и­на). В ка­зи­но иг­ро­кам пред­ла­га­ет­ся де­лать став­ки на цвет шара, ко­то­рый будет вы­та­щен из ящика. Фик­си­ро­ва­но число p, при­чем 1 мень­ше p мень­ше 2 . Если цвет вы­та­щен­но­го шара сов­па­да­ет с тем, на ко­то­рый игрок по­ста­вил x денег  — игрок по­лу­чит назад px денег, если не сов­па­да­ет  — не по­лу­чит ни­че­го. Для ста­вок в каж­дом ра­ун­де можно ис­поль­зо­вать не толь­ко день­ги, имев­ши­е­ся к на­ча­лу игры, но и вы­иг­ры­ши про­шлых ра­ун­дов. Перед на­ча­лом игры Вася смог под­смот­реть, что в ящик по­ло­жи­ли 2 чер­ных и 3 крас­ных шара (дру­гих шаров нет), сыг­ран­ные шары об­рат­но в ящик не воз­вра­ща­ют­ся, игра про­ис­хо­дит пока ящик не опу­сте­ет. Какую мак­си­маль­ную сумму Вася может га­ран­ти­ро­ван­но иметь к концу розыг­ры­ша?


На­пом­ним, что за­пись числа n в t-ичной си­сте­ме счис­ле­ния- это пред­став­ле­ние

n=\overlinea_k a_k минус 1 \ldots a_0=a_k t в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a_k минус 1 t в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс умно­жить на s плюс a_0,

где ai  — целые числа от 0 до t минус 1, при­чем ak  — не ноль. На­зо­вем че­ты­рех­знач­ное число \overlinea b c d ин­те­рес­ным если \overlinea b плюс \overlinec d=\overlineb c. Най­ди­те ко­ли­че­ство упо­ря­до­чен­ных пар ин­те­рес­ных чисел, сумма ко­то­рых  — тоже ин­те­рес­ное число (как функ­цию от t в за­мкну­той форме).


Точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC тре­уголь­ни­ка ABC. Ка­са­тель­ные, про­ведённые из M к впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC, ка­са­ют­ся этой окруж­но­сти в точ­ках P, Q. Ка­са­тель­ные из M к внев­пи­сан­ной окруж­но­сти ABC, ка­са­ю­щей­ся сто­ро­ны BC, ка­са­ют­ся этой окруж­но­сти в точ­ках R, S. Пря­мые PQ, RS пе­ре­се­ка­ют­ся в точке X. Ока­за­лось, что A X=A M. Най­ди­те угол \angle B A C.


Рас­смат­ри­ва­ют­ся все­воз­мож­ные на­бо­ры дей­стви­тель­ных чисел x1, ..., x2021, не пре­вос­хо­дя­щих по мо­ду­лю 1, с сум­мой 0. Для ка­ко­го наи­мень­ше­го C можно любой такой набор рас­ста­вить по кругу так, что сумма любых не­сколь­ких сто­я­щих под­ряд чисел будет по мо­ду­лю не боль­ше C?


Ги­по­те­ну­за AB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC ка­са­ет­ся впи­сан­ной и со­от­вет­ству­ю­щей внев­пи­сан­ной окруж­но­стей в точ­ках T1, T2 со­от­вет­ствен­но. Окруж­ность, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны сто­рон, ка­са­ет­ся этих же окруж­но­стей в точ­ках S1, S2 со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что  \angle S_1 C T_1=\angle S_2 C T_2 .


Най­ди­те все дей­стви­тель­ные числа d, для ко­то­рых су­ще­ству­ют мно­го­чле­ны от одной пе­ре­мен­ной P и Q, такие что ра­вен­ство

 дробь: чис­ли­тель: P левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: Q левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: P левая круг­лая скоб­ка x плюс d пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: Q левая круг­лая скоб­ка x плюс d пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби

вы­пол­ня­ет­ся при всех зна­че­ни­ях x кроме ко­неч­но­го числа.


Через X (α) будем обо­зна­чать точку с ко­ор­ди­на­та­ми  левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус альфа ,  синус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка (все такие лежат на окруж­но­сти ра­ди­у­са 1 c цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат). Вы­бра­ли про­из­воль­ный угол  фи и про­ве­ли хорды

 P левая круг­лая скоб­ка фи пра­вая круг­лая скоб­ка P левая круг­лая скоб­ка 2022 фи пра­вая круг­лая скоб­ка , P левая круг­лая скоб­ка 2022 фи пра­вая круг­лая скоб­ка P левая круг­лая скоб­ка 2022 в квад­ра­те фи пра­вая круг­лая скоб­ка , \ldots

(на шаге номер n про­во­дит­ся хорда  левая круг­лая скоб­ка P левая круг­лая скоб­ка 2022 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка фи пра­вая круг­лая скоб­ка P левая круг­лая скоб­ка 2022 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка фи пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка . Если хорда уже была про­ве­де­на  — она не про­во­дит­ся вто­рой раз. Ока­за­лось, что все про­ве­ден­ные хорды не пе­ре­се­ка­ют­ся иначе чем по кон­цам. До­ка­жи­те, что всего про­ве­де­но ко­неч­ное число хорд.


Фо­кус­ник и его Ас­си­стент го­то­вят­ся по­ка­зать сле­ду­ю­щий фокус. Фо­кус­ни­ку за­вя­жут глаза, после чего один из зри­те­лей на­пи­шет на доске 60-бит­ное слово (по­сле­до­ва­тель­ность из 60 нулей и еди­ниц). Ас­си­стент уве­рен, что смо­жет не­за­мет­но пе­ре­дать фо­кус­ни­ку за­пис­ку, со­дер­жа­щую 44 бита (не обя­за­тель­но биты за­га­дан­но­го слова, может на­пи­сать какие хочет). После чего Фо­кус­ник дол­жен будет на­звать слово. Для ка­ко­го наи­боль­ше­го числа C Фо­кус­ник и Ас­си­стент могут при­ду­мать стра­те­гию, поз­во­ля­ю­щую все­гда на­звать слово, сов­пав­шее хотя бы в C битах с на­пи­сан­ным зри­те­лем.



Два пря­мо­уголь­ни­ка ABCD и AEFG имеют общую вер­ши­ну А и рас­по­ло­же­ны на плос­ко­сти так, что точки B, E, D и G лежат на одной пря­мой (в ука­зан­ном по­ряд­ке). Пусть пря­мые ВС и GF пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Т, а пря­мые СD и EF  — в точке H. До­ка­жи­те, что точки А, Н и T лежат на одной пря­мой.


Пусть m и n  — на­ту­раль­ные числа. До­ка­жи­те, что число 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка m пра­вая круг­лая скоб­ка можно пред­ста­вить в виде суммы двух точ­ных квад­ра­тов тогда и толь­ко тогда, когда число n минус m чётное.


Две окруж­но­сти C1(O1) и C2(O2) с раз­лич­ны­ми ра­ди­у­са­ми пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Ка­са­тель­ная из точки A к C1 пе­ре­се­ка­ет ка­са­тель­ную из точки B к C2 в точке M. До­ка­жи­те, что окруж­но­сти из точки M видны под оди­на­ко­вы­ми уг­ла­ми. (Го­во­рят, что окруж­ность видна из точки вне ее под углом α, если ка­са­тель­ные, про­ве­ден­ные из этой точки к окруж­но­сти, об­ра­зу­ют угол α).


Пусть xk  — по­ло­жи­тель­ный ко­рень урав­не­ния x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка минус x минус 1=0. До­ка­жи­те, что

 x_25 мень­ше дробь: чис­ли­тель: x_20 плюс x_30, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби


В ком­на­те стоят два ящика. В пер­вом лежат n белых и m чер­ных шаров, во вто­ром  — до­ста­точ­но много чер­ных. Из пер­во­го ящика на­у­гад вы­ни­ма­ют два шара. Если они од­но­го цвета, то чер­ный шар из вто­ро­го ящика пе­ре­кла­ды­ва­ют в пер­вый, если шары раз­но­го цвета, то белый шар воз­вра­ща­ют в пер­вый ящик. Так по­сту­па­ют до тех пор, пока в пер­вом ящике не оста­нет­ся один шар. С какой ве­ро­ят­но­стью он будет белым?


Клет­ки шах­мат­ной доски  12 \times 12 рас­кра­ше­ны в 72 цвета так, что в каж­дый цвет по­кра­ше­ны ровно две клет­ки. До­ка­жи­те, что на этой доске можно рас­ста­вить 12 ладей так, чтобы они сто­я­ли на клет­ках раз­но­го цвета и ни­ка­кие две из них не били друг друга. Две ладьи бьют друг друга, если они стоят в одной го­ри­зон­та­ли или в одной вер­ти­ка­ли доски.


Пусть xk  — по­ло­жи­тель­ный ко­рень урав­не­ния x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка минус x минус 1=0. До­ка­жи­те, что

 x_16 мень­ше дробь: чис­ли­тель: x_10 плюс x_40, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби


Клет­ки шах­мат­ной доски  10 \times 10 рас­кра­ше­ны в 50 цве­тов так, что в каж­дый цвет по­кра­ше­ны ровно две клет­ки. До­ка­жи­те, что на этой доске можно рас­ста­вить 10 ладей так, чтобы они сто­я­ли на клет­ках раз­но­го цвета и ни­ка­кие две из них не били друг друга. Две ладьи бьют друг друга, если они стоят в одной го­ри­зон­та­ли или в одной вер­ти­ка­ли доски.


В фирме ра­бо­та­ло 150 со­труд­ни­ков, в том числе 73 жен­щи­ны. Затем про­изо­шло объ­еди­не­ние с дру­гой фир­мой, где жен­щи­ны со­став­ля­ли 40%. В ре­зуль­та­те доля жен­щин среди со­труд­ни­ков стала равна p%. Най­ди­те все воз­мож­ные целые зна­че­ния p.

Всего: 876    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80