Всего: 16 1–16
Добавить в вариант
Найдите все пары натуральных чисел (x, y) удовлетворяющих равенству:
Равенство 
перепишем в виде
где 
Обозначив ещё 
получим уравнение
Задача сведена, таким образом, к поиску точек с положительными рациональными координатами (со знаменателем 100) на окружности радиуса 
с центром в начале координат. Уравнению (1) удовлетворяют, например, числа 
Остальные рациональные точки будем искать следующим образом: через точку с координатами 
будем проводить всевозможные прямые
а коэффициент k подбирать так, чтобы точка пересечения прямой (2) и окружности (1) (отличная от 
имела рациональные координаты. Подставив (2) в (1), получим
получаем:
Подставляя полученное выражение для q в (2), найдем
Поскольку p0, q0 рациональны, а в точке пересечения рациональными должны быть еще и p, q то, как следует из (2), коэффициент k также рационален. Полагая 
выражения для p и q перепишем в виде
Таким образом, искомые числа равны
Последнее уравнение решается перебором:
Для найденных m, n (а также с учетом отмеченного ранее решения 
получаем следующие пары натуральных чисел (x, y).
Ответ: (12, 316), (100, 300), (180, 260), (260, 180), (300, 100), (316, 12).
Найдите все пары натуральных чисел (x, y) удовлетворяющих равенству:
Равенство перепишем в виде
где Обозначив ещё получим уравнение
Задача сведена, таким образом, к поиску точек с положительными рациональными координатами (со знаменателем 100) на окружности радиуса с центром в начале координат. Уравнению (1) удовлетворяют, например, числа
Остальные рациональные точки будем искать следующим образом: через точку с координатами будем проводить всевозможные прямые
а коэффициент k подбирать так, чтобы точка пересечения прямой (2) и окружности (1) (отличная от имела рациональные координаты. Подставив (2) в (1), получим
получаем:
Подставляя полученное выражение для q в (2), найдем
Поскольку p0, q0 рациональны, а в точке пересечения рациональными должны быть еще и p, q то, как следует из (2), коэффициент k также рационален. Полагая выражения для p и q перепишем в виде
Таким образом, искомые числа равны
Последнее уравнение решается перебором:
Для найденных m, n (а также с учетом отмеченного ранее решения получаем следующие пары натуральных чисел (x, y).
Ответ: (12, 316), (100, 300), (180, 260), (260, 180), (300, 100), (316, 12).
Найти все решения в целых числах уравнения: 
Покажем что, если 
равно степени двойки не ниже второй, то обе переменных должны быть чётными числами. Действительно, 
если одна из переменных нечётна, то вторая тоже, так как сумма их кубов чётна. В таком случае вторая скобка в разложении будет нечётным целым числом, делящим степень двойки, то есть, 
Рассматриваем последнее равенство как квадратное уравнение относительно x, если оно имеет решение, его дискриминант, равный 
должен быть неотрицательным, что возможно только при 
При y = 0 получим 
откуда 
При y = 1 получим 
откуда 
При y = −1 получим 
откуда 
При нечётных x, y получаются две пары значений: (1, 1) и (−1, −1), для которых 
равно, соответственно, 2 и −2, поэтому подходит только первая пара (1, 1) и при это равно 2 — степени двойки ниже второй.
Рассмотрим теперь исходное уравнение. Ввиду доказанного, обе переменных чётные, поделив всё уравнение на 8, получим новое уравнение в целых числах 
в котором правая часть снова является степенью двойки выше первой. Продолжая в том же духе, дойдём до уравнения 
Из решения уравнения 
в предыдущей части с учётом 
для 
получаем (1, 0) или (0, 1), откуда (x, y) равно (x, y) или 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Показано, что, если равно степени двойки не ниже второй, то обе переменные должны быть чётными числами. | 3 |
| Использована идея десяти делений значений переменных на 2. | 3 |
| Решение уравнения | 1 |
| Только угаданы решения. | 0 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
а) Найдите все такие значения a и b, что система неравенств
имеет единственное решение.
б) Докажите, что кривая
делит единичную окружность на восемь равных дуг.
в) Докажите, что при любом натуральном k уравнение 
разрешимо в целых числах.
а) Изобразим на плоскости множества, заданные неравенствами
и 
(замена 
). Ясно (см. рис.), что они имеют единственную общую точку лишь при 
Ответ: 
и b — любое.
б) Перейдя к полярным координатам 
и 
после несложных преобразований получим уравнение 
поэтому данная кривая состоит из восьми проходящих через начало координат прямых. Угол между соседними прямыми равен 
в) Пусть 
тогда числа 
и 
целые.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и b — любое.а) Найдите все целые k, при которых разрешимо уравнение
б) Найдите все целые решения уравнения 
в) Найдите все натуральные решения уравнения
а) Не следует пугаться присутствующих в условии обратных тригонометрических функций. Поскольку 
то после замены 
получим уравнение 
Полученное уравнение разрешимо, если число 
входит в множество значений функции 
Для его нахождения можно стандартным образом исследовать функцию при помощи производной, а можно воспользоваться оценками
(заметим, что эти неравенства обращаются в равенства, соответственно, при или 
и 
). Следовательно, множеством значений функции f является отрезок 
Значит, решение исходного уравнения существует тогда и только тогда, когда 
откуда и получаем ответ.
Ответ: 
б) Из равенства 
получаем, что 
откуда следует, что число 
должно быть полным квадратом, 
Аналогично, 
причем 
Ответ: 
в) Докажите вначале следующее утверждение.
Лемма. Если 
и 
то 
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Решить в целых числах уравнение:
Заметим, что
Таким образом, правая часть является квадратом некоторого числа.
Теперь обозначим через Sn сумму n слагаемых в левой части. Имеем:
Видно, что для любого 
число n! заканчивается на 0, а следовательно, Sn заканчивается на 3. Поскольку квадрат числа не может заканчиваться на 3, нам нужно рассмотреть два случая: 
и 
В первом случае 
то есть
Во втором случае 
Получаем два решения 
и 
Ответ: 
Сколькими различными способами можно разменять 1000 рублей, используя только рублевые, 5-рублевые и 10-рублевый монеты?
Задача сводится к нахождению числа решений неравенства 
и неотрицательных целых числах 
Преобразованная к виду 
получим, что при 
решений 201, при решений 199, ..., при 
—
Ответ: 10 201.
Найдите сумму всех чисел вида 
где x и y являются натуральными решениями уравнения 
Решаем вспомогательное уравнение 
Eго решениями, например, могут быть 7 и 2. Домножим их на 307, и учтем линейные комбинации при целом t, получаем значения в натуральных числах
Следовательно, 
Ответ: 164.
Решите в целых числах уравнение 
Перепишем уравнение в виде
Откуда:
1) если 
то 
так как x — целое;
2) если 
то 
так как y — целое;
3) если 
то 
так как z — целое.
B силу симметрии, сначала можно искать лишь тройки (x; y; z), для которых 
Такая будет только одна (1; 4; 3) (перебор), а затем в силу симметрии записываем остальные (−1; 4; 3), (−1; 4; −3), (1; 4; −3).
Ответ: (1; 4; 3), (−1; 4; 3), (−1; 4; −3), (1; 4; −3).
Докажите, что уравнение 
имеет бесконечное множество решений в натуральных числах.
Пусть 
тогда 
Поскольку 
равенство эквивалентно 
Троек натуральных чисел 
бесконечно много.
Приведите пример различных натуральных чисел 
таких, что 
Например, подходят числа 
Ответ:
| Верный пример | 15 баллов |
| Найден набор 2, 3, c, 28, но допущена арифметическая ошибка при нахождении c | 13 баллов |
| Неверный пример | 0 баллов |
| Отсутствие решения | 0 баллов |
Решите уравнение в целых числах 
Преобразуем исходное выражение:
Поскольку 
и 
то возможны следующие случаи 
либо 
Откуда 
либо 
Ответ: 
При каких значениях
Сделаем замену переменных: 
и 
Уравнение можно преобразовать к виду:
Теперь введем переменную t: 
Тогда правая часть уравнения может выть преобразована к виду:
Функция g(t) при отрицательных значениях аргумента отрицательна, а при положительных ее можно представить в виде:
из которого ясно, что функция принимает максимальное значение, когда знаменатель положителен и минимален. Это произойдет при 
то есть при 
При этом максимальное значение правой части уравнения будет равно 3. Левая часть уравнения
всегда больше или равна 3 и достигает минимального значения при 
Отсюда можно найти значения переменной x:
которые претендуют на то, чтобы быть корнями исходного уравнения. Значения переменной x у левой и правой части должны совпадать, поэтому решения будут при таких значениях n, при которых выполнится хотя бы одно из условий:
В обоих случаях получаются линейные диофантовы уравнения, которые решаются представлением k через классы делимости на 7 с остатком 
Первое из этих уравнений относительно переменной n сводится к уравнению 
которое на заданном промежутке натуральных чисел имеет единственное решение 
Второе уравнение сводится к уравнению: 
которое имеет единственное решение 
Ответ: {6, 9}.
Найти целые положительные делители x и y числа 1232, удовлетворяющие уравнению 
Разложение на множители 
Решение уравнения
Числа 
и 
взаимно простые и каждое из них делится на одно из чисел 2, 7 или 11.
Первый случай. Если 
—
Число у должно быть делителем числа 1232, и быть нечетным. Таких делителей три 7, 11, 77 и только одному, 11 соответствует 
и решения 
Второй случай. Если 
то
Число 
является делителем числа 1232 и не делится на 7, то есть может принимать одно из значений: 16, 22, 44, 88, 176. Последние четыре не реализуются, поскольку после вычитания 16 не делятся на 35. А делителю 16 соответствует 
и решения 
Третий случай. Если 
то
Число 
является делителем числа 1232 и не делится на 11. Такими делителями могут быть только 56 и 112, но им не соответствует целое S. Таким образом, в случае 3 решений уравнения нет.
Ответ: 1) 
и 
2) 
и 
и 2) и Найдите наибольшее значение выражения где x, y — решения в целых числах уравнения 
Заметим, что 345 и 5y2 делятся на 5, тогда и 3x2 должно делиться на 5. Следовательно, 
Аналогично, 
После сокращения, уравнение примет вид 
Следовательно, 
или 
Перебрав соответствующие значения t, n, получим, что 
или
Наибольшее значение выражения 
равно 
Ответ: 13.
а) Докажите, что уравнение 
имеет решение в натуральных числах x, y.
б) Сколько натуральных решений имеет это уравнение?
Перепишем уравнение в виде 
и разложим 2023 на простые множители: 
Число 2023 имеет 6 натуральных делителей, а именно, 1, 7, 17, 7 · 17, 17 · 17, 7 · 17 · 17 из них первые три подходят в качестве меньшего (первого) множителя (x – y) левой части уравнения 
Соответственно, остальные три делителя (в обратном порядке) будут давать второй множитель (x + y). Получаются три системы:
каждая из которых имеет натуральные решения x, y, a именно: 1) x = 1012, y = 1011; 2) x = 148, y = 141; 3) x = 68, y = 51.
Ответ: б) 3 решения.
Наверх