Пусть объём ванны равен V, тогда к мо­мен­ту её на­пол­не­ния в ней долж­но быть хо­лод­ной воды и го­ря­чей. Ско­рость на­пол­не­ния ванны хо­лод­ной и го­ря­чей водой равны и со­от­вет­ствен­но. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое время равно раз­но­сти времён на­пол­не­ния ванны го­ря­чей водой и на­пол­не­ния ванны хо­лод­ной водой, то есть

Ответ: Через 5 минут.

До­пол­ни­тель­но по­тра­чен­ные во вто­рой раз 100 руб­лей при­нес­ли купцу до­пол­ни­тель­ные 20 руб­лей при­бы­ли. Зна­чит, в пер­вый раз, чтобы по­лу­чить 5 · 20  =  100 руб­лей при­бы­ли, купец дол­жен был за­пла­тить 5 · 100  =  500 руб­лей.

Вто­рое ре­ше­ние. Обо­зна­чим сумму пер­вой по­куп­ки за x, тогда на вло­жен­ный в Твери рубль он по­лу­чит в Москве руб­лей. Сле­до­ва­тель­но, после вто­рой по­куп­ки-про­да­жи он по­лу­чит руб­лей. Решая, по­лу­чим

Ответ:500 руб­лей.

Пусть в пер­вой банке было x л воды, тогда от­ку­да Пусть во вто­рой банке было y л воды, тогда от­ку­да Пусть в тре­тьей банке было z л воды, тогда

После сме­ши­ва­ния по­лу­чим Тогда

Решая оба не­ра­вен­ства, по­лу­ча­ем

Един­ствен­ное целое число, удо­вле­тво­ря­ю­щее этим усло­ви­ям  — 12.

Ответ: 12%.

Пусть n  — число детей, спра­ва от ко­то­рых стоит ре­бе­нок дру­го­го пола, а m  — число детей, спра­ва от ко­то­рых стоит ре­бе­нок того же пола. Из­на­чаль­но то есть общее ко­ли­че­ство детей четно. Будем ме­нять ме­ста­ми двух рядом сто­я­щих детей так, чтобы маль­чи­ки со­бра­лись все под­ряд с одной сто­ро­ны хо­ро­во­да, а де­воч­ки с дру­гой. Тогда n ста­нет равно 2. При каж­дой такой пе­ре­ста­нов­ке детей числа n и m либо не ме­ня­ют­ся, либо одно из них уве­ли­чи­ва­ет­ся на 2, а вто­рое умень­ша­ет­ся на 2. Это зна­чит, что оста­ток от де­ле­ния раз­но­сти на 4 не ме­ня­ет­ся. Из­на­чаль­но этот оста­ток был равен 0.

Если всего детей и то Тогда

Для того, чтобы оста­ток от де­ле­ния на 4 был равен нулю, надо, чтобы k де­ли­лось на 2. То есть общее число детей долж­но быть крат но 4.

Ответ: любое на­ту­раль­ное число, крат­ное че­ты­рем.

Если x₁, x₂, x₃  — ко­ли­че­ства уста­но­вок типов 1, 2, 3, то усло­вия пред­став­ля­ют­ся со­от­но­ше­ни­я­ми

Из (2)−(4) по­лу­ча­ем от­ку­да сле­ду­ет, что и   — на­ту­раль­ные де­ли­те­ли числа 99, т. е. эти ве­ли­чи­ны при­над­ле­жат мно­же­ству

Если то это не­воз­мож­но, так как k целое.

Если то это не­воз­мож­но.

Если то все усло­вия вы­пол­ня­ют­ся.

Если то это не­воз­мож­но.

Если то это не­воз­мож­но.

Если то не вы­пол­не­но не ра­вен­ство (1).

Ответ: 9, 36, 27.

Обо­зна­чим через x ко­ли­че­ство хво­стов у го­ло­ва­сти­ка саб­ле­зу­бой ля­гуш­ки. Пусть было пой­ма­но n пя­ти­но­гих и k мно­го­хво­стых го­ло­ва­сти­ков. Под­счет об­ще­го ко­ли­че­ства ног и хво­стов дает урав­не­ния

Из пер­во­го урав­не­ния имеем и Кроме того, сле­до­ва­тель­но, k крат но 5. Умно­жим те­перь вто­рое урав­не­ние си­сте­мы на 5 и вы­чтем из ре­зуль­та­та пер­вое. По­лу­чим

По­сколь­ку слева стоит про­из­ве­де­ние двух на­ту­раль­ных чисел и с уче­том по­лу­чен­ных огра­ни­че­ний, на­хо­дим, что k может при­ни­мать толь­ко зна­че­ния или или

Под­ста­вим их по оче­ре­ди в си­сте­му урав­не­ний. При имеем

от­ку­да Но не крат­но 5. Ре­ше­ний нет.

При по­лу­ча­ем

от­ку­да Но не крат­но 10. Ре­ше­ний снова нет.

На­ко­нец, при на­хо­дим

от­ку­да и

Ответ: 3 хво­ста.

За­да­ча сво­дит­ся к урав­не­нию

в не­от­ри­ца­тель­ных целых чис­лах x, y. Пред­ста­вим его в виде

Зна­чит, крат­но 7, Умно­жим ра­вен­ство на 4 и пре­об­ра­зу­ем ре­зуль­тат: от­ку­да крат­но 7, где

Из (1) вы­ра­зим

Из усло­вий и по­лу­ча­ем

Итак, общее ре­ше­ние урав­не­ния (1) есть и где Всего име­ет­ся 16 част­ных ре­ше­ний:

Ответ: где

Ре­ше­ние су­ще­ствен­но за­ви­сит от того, были ли все взно­сы раз­лич­ны или могли по­вто­рять­ся.

Пусть, сна­ча­ла, все взно­сы раз­лич­ны. Любое на­ту­раль­ное число, боль­шее 100, но не пре­вос­хо­дя­щее 200, можно пред­ста­вить в виде где По усло­вию нет двух чисел, от­ли­ча­ю­щих­ся ровно на 100, а зна­чит n при­ни­ма­ет все остав­ши­е­ся от пер­вых 50 чисел зна­че­ния. По­это­му сумма всех 100 чисел равна

Если взно­сы могли по­вто­рять­ся, то од­но­знач­но­го от­ве­та дать не­воз­мож­но, но можно про­из­ве­сти оцен­ки. За­ме­тим, что со­глас­но усло­вию в каж­дый день был хотя бы один взнос. Наи­мень­шая сумма по­лу­чит­ся, если в пер­вый день было 99 взно­сов по 1, а во вто­рой день  — один взнос 102 (101 быть не может). Сум­мар­но по­лу­ча­ем Наи­боль­шая сумма по­лу­чит­ся, если в пер­вый день был 1 взнос, рав­ный 99, а во вто­рой день  — 99 взно­сов по 200.

Сум­мар­но по­лу­ча­ем

Ответ: если все взно­сы раз­лич­ны, то со­бра­ли 10 050 тысяч, если нет, то ми­ни­маль­но воз­мож­ная сумма равна 201 тысяч, мак­си­маль­но воз­мож­ная  — 19 899 тысяч.

Ответ: 50 кг.

Не будем пока сле­дить за по­ряд­ком чисел в одном столб­це. Сумма ука­зан­ных чисел равна 45, обо­зна­чим x число сто­я­щее в самой левой ниж­ней клет­ке. Тогда от­ку­да Зна­чит, сумма чисел во вто­ром столб­це равна Если во вто­ром столб­це стоят 3 и 5, то в тре­тьем столб­це долж­ны сто­ять 1 и 8, в чет­вер­том  — 6 и 4, в по­след­нем  — 2 и 9. Если во вто­ром столб­це стоят 6 и 2, то в тре­тьем столб­це могут сто­ять 1 и 8 или 4 и 5. Можно по­ка­зать, что если в тре­тьем столб­це стоят 1 и 8, то не­воз­мож­но по­до­брать числа в чет­вер­том столб­це. Зна­чит, там стоят 4 и 5, тогда в чет­вер­том столб­це стоят 1 и 9, а в по­след­нем  — 3 и 8. По­лу­чи­лось 2 ва­ри­ан­та рас­ста­нов­ки без учета по­ряд­ка.

За­ме­тим, что в каж­дом столб­це (кроме пер­во­го) числа можно ме­нять ме­ста­ми, что дает по 16 ва­ри­ан­тов для каж­дой рас­ста­нов­ки. В итоге по­лу­ча­ем 32 ва­ри­ан­та с уче­том по­ряд­ка чисел в столб­цах.

Ответ: 32.

Либо вос­поль­зо­вать­ся фор­му­лой суммы ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

либо про­сто по­счи­тать сумму «в лоб».

Ответ: 15.

За­ме­тим, что сле­до­ва­тель­но, воз­мож­ны ва­ри­ан­ты:

а) 7, 11, 13 и 1925 еди­ниц;

6) два числа (7 и 143, или 11 и 91 или 13 и 77) и 1926 еди­ниц;

в) 1001 и 1927 еди­ниц.

Пунк­ты а) и в) не под­хо­дят, так как в сумме ука­зан­ные числа не дают 2016, а в слу­чае б) сумма двух чисел долж­на быть 90, то есть это 13 и 77.

Ответ: 78.

Обо­зна­чим x  — цена ка­ран­да­ша, y  — ла­сти­ка. Тогда За­ме­тим, что

долж­но быть крат­но трем. Это воз­мож­но при Ввиду того, что цена ка­ран­да­ша от­ли­ча­ет­ся от цены ла­сти­ка не более, чем на 5. руб­лей, под­хо­дит толь­ко и

Ответ: 10.

Если ис­ко­мое число x, то число долж­но де­лить­ся на 3, 5 и 7, то есть имеет вид Зна­чит, Так как по усло­вию то По­это­му

Ответ: 208.

Из раз­ло­же­ния

де­ла­ем вывод, в за­да­че

чисел a_k не рав­ных 1 может быть не более 4 (т. е. не более чем ко­ли­че­ство про­стых де­ли­те­лей), по­это­му за­да­ча рав­но­силь­на сле­ду­ю­щей

Ре­ша­ем по­след­нюю за­да­чу: Набор a₁, a₂, a₃, a₄ со­сто­ит из чисел 1, 19,113, 3 · 631.

Оста­ет­ся вы­чис­лить

Ответ: 1894.

Ре­ше­ние ана­ло­гич­но за­да­нию 6140.

Ответ: 60 пи­ра­тов.

По­про­бу­ем пред­ста­вить себе за­да­чу так: злой хакер пе­ре­ре­зал все про­во­да. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство про­во­дов дол­жен вос­ста­но­вить админ, чтобы по­лу­чи­лось 8 кла­сте­ров? Оче­вид­но, что до­бав­ляя про­вод админ может умень­шать число кла­сте­ров на еди­ни­цу. Зна­чит, из 200 кла­сте­ров можно по­лу­чить 8 если вос­ста­но­вить 192 про­во­да. Сле­до­ва­тель­но, хакер мог пе­ре­ре­зать мак­си­мум 153 про­во­да.

Ответ: 153.

По усло­вию по­лу­ча­ем, что номер ком­на­ты Не­знай­ки k и номер ком­на­ты Знай­ки n удо­вле­тво­ря­ют со­от­но­ше­нию После за­ме­ны это со­от­но­ше­ние сво­дит­ся к виду:

По­стро­е­ние всех на­ту­раль­ных ре­ше­ний урав­не­ния ос­но­ва­но на сле­ду­ю­щих эле­мен­тар­ных со­об­ра­же­ни­ях:

1.  Если (x₁, y₁), (x₂, y₂)  — два раз­лич­ных ре­ше­ния и x₁ < x₂, то y₁ < y₂. Тем самым, на мно­же­стве всех на­ту­раль­ных ре­ше­ний (x, y) урав­не­ния можно вве­сти есте­ствен­ное упо­ря­до­че­ние:

2.  Пары (1, 1) и (5, 7) яв­ля­ют­ся пер­вым и вто­рым ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния (т. е. между этими ре­ше­ни­я­ми дру­гих ре­ше­ний нет).

3.  Если (x, y)  — ре­ше­ние, то пара   — тоже ре­ше­ние (при­чем боль­шее (x, y)). От­ме­тим, что и пары (1, 1), (5, 7) на­чи­на­ют воз­рас­та­ю­щую по­сле­до­ва­тель­ность пар ре­ше­ний урав­не­ния.

4.  Между па­ра­ми ре­ше­ний (x, y) и f (x, y) в этой це­поч­ке нет дру­гих ре­ше­ний урав­не­ния.

Пусть такое ре­ше­ние все-таки есть, тогда При­ме­ним ко всем ча­стям этого со­от­но­ше­ния отоб­ра­же­ние g, об­рат­ное к Вы­пол­ним такое пре­об­ра­зо­ва­ние столь­ко раз, чтобы вме­сто (x, y) по­лу­чи­лась пара а вме­сто f (x, y)  — пара Но тогда по­лу­чит­ся, что между па­ра­ми (1, 1) и (5, 7) есть еще одно ре­ше­ние урав­не­ния  — по­лу­чи­лось про­ти­во­ре­чие.

Вывод. Ре­кур­рент­ная по­сле­до­ва­тель­ность пар

ис­чер­пы­ва­ет мно­же­ство всех на­ту­раль­ных ре­ше­ний урав­не­ния. На­хо­дим не­сколь­ко пер­вых пар этой по­сле­до­ва­тель­но­сти:

Оче­вид­но, что толь­ко пара x₅  =  985 и y₅  =  1393 (и со­от­вет­ству­ю­щие зна­че­ния k  =  492, n  =  696) удо­вле­тво­ря­ют усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ: 696.

Пусть ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны x и y, а ги­по­те­ну­за равна По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

от­ку­да y  — не­чет­ное число, а   — пол­ный квад­рат. До­пу­стим:

а)  если катет равен 2019. За­ме­тим, что x не может рав­нять­ся 2019, так как не яв­ля­ет­ся пол­ным квад­ра­том. Если то

Сле­до­ва­тель­но, один из ка­те­тов может рав­нять­ся 2019;

6)  если катет равен 2018. За­ме­тим, что x не может рав­нять­ся 2018, так как не яв­ля­ет­ся пол­ным квад­ра­том. Но и y не может рав­нять­ся 2018 , так как y обя­за­тель­но не­чет­ное;

в)  если катет равен 2112. За­ме­тим, что y не может рав­нять­ся 2112, так как y обя­за­тель­но не­чет­ное. Если то

от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, один из ка­те­тов может рав­нять­ся 2112.

Ответ: а) да; б) нет; в) да.

Пусть число минут где a и b  — целые числа от 1 до 5. По усло­вию, либо либо В пер­вом слу­чае имеем где Это дает что не­воз­мож­но, по­сколь­ку k не может окан­чи­вать­ся на ноль. Рас­смот­рим вто­рой слу­чай:

Левая часть крат­на 20 и может при­ни­мать зна­че­ния толь­ко от −2 до 14. По­это­му она равна нулю. Тогда b крат­но 3, от­ку­да и Таким об­ра­зом, Про­ве­рим ответ:

от­сю­да и

Ответ: