Обо­зна­чим наш тет­ра­эдр ABCD, центр сферы, впи­сан­ной в кар­кас, за O, а саму сферу за S. Объём тет­ра­эд­ра равен сумме объёмов м алень­ких тет­ра­эд­ров OABC, OABD, OACD и OBCD.

Пе­ре­се­че­ние S и плос­ко­сти ABC это впи­сан­ная окруж­ность тре­уголь­ни­ка ABC. Обо­зна­чим за I её центр, тогда OI  — вы­со­та тет­ра­эд­ра OABC. Пусть R  — ра­ди­ус сферы S, r  — ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC. тогда вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство Тогда

где   — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC. По не­ра­вен­ству о сред­нем гео­мет­ри­че­ском и сред­нем квад­ра­тич­ном

то есть

Таким об­ра­зом,

Скла­ды­вая объёмы четырёх ма­лень­ких тет­ра­эд­ров мы по­лу­ча­ем

а сумма по­лу­пе­ри­мет­ров гра­ней это в точ­но­сти сумма длин рёбер тет­ра­эд­ра. Зна­чит,

что и тре­бо­ва­лось.

Обо­зна­чим наш тет­ра­эдр ABCD, центр сферы, впи­сан­ной в кар­кас, за O, а саму сферу за S. Объём тет­ра­эд­ра равен сумме объёмов ма­лень­ких тет­ра­эд­ров OABC, OABD, OACD и OBCD.

Пе­ре­се­че­ние S и плос­ко­сти ABC это впи­сан­ная окруж­ность тре­уголь­ни­ка ABC. Обо­зна­чим за I её центр, тогда OI  — вы­со­та тет­ра­эд­ра OABC. Пусть R  — ра­ди­ус сферы S, r  — ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC, тогда вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство Тогда

где   — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC. По не­ра­вен­ству о сред­нем гео­мет­ри­че­ском и сред­нем квад­ра­тич­ном

Таким об­ра­зом, Скла­ды­вая объёмы четырёх ма­лень­ких тет­ра­эд­ров мы по­лу­ча­ем

а сумма по­лу­пе­ри­мет­ров гра­ней это в точ­но­сти сумма длин рёбер тет­ра­эд­ра. Зна­чит,

Обо­зна­чим точки пе­ре­се­че­ния пря­мой SO со сфе­рой через P и Q (точка P лежит на от­рез­ке SO, а Q  — вне него). Пусть ра­ди­ус сферы равен r. Тре­уголь­ни­ки OKS, OLS и OMS пря­мо­уголь­ные (углы при вер­ши­нах K, L, M пря­мые, так как ка­са­тель­ные пер­пен­ди­ку­ляр­ны ра­ди­у­сам, про­ведённым в точку ка­са­ния). Эти тре­уголь­ни­ки равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе SO  — общая), сле­до­ва­тель­но,

(пусть Вы­со­ты, опу­щен­ные из точек K, L, M на ги­по­те­ну­зу SO, равны, а их ос­но­ва­ния  — одна и та же точка H, ле­жа­щая в плос­ко­сти KLM (назовём эту плос­кость

Пусть β и ка­са­тель­ные плос­ко­сти к сфере, про­хо­дя­щие через точки P и Q, а E и F  — точки пе­ре­се­че­ния этих плос­ко­стей с пря­мой SK. По усло­вию пло­ща­ди се­че­ний трёхгран­но­го угла этими плос­ко­стя­ми равны со­от­вет­ствен­но и Рас­смот­рим се­че­ние трех­гран­но­го угла и сферы плос­ко­стью (см. рис. и обо­зна­че­ния на нем). Так как SH пер­пен­ди­ку­ляр­на HK и SH пер­пен­ди­ку­ляр­на HL, то τ и SH  — пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Тогда се­че­ния трёхгран­но­го угла плос­ко­стя­ми и   — по­доб­ные тре­уголь­ни­ки, плос­ко­сти ко­то­рых па­рал­лель­ны (все они пер­пен­ди­ку­ляр­ны SO).

Если   — пло­щадь тре­уголь­ни­ка, по­лу­ча­ю­ще­го­ся в се­че­нии трёхгран­но­го угла плос­ко­стью то из по­до­бия

Сле­до­ва­тель­но,

Тогда

от­ку­да

От­сю­да

Далее,

Зна­чит,

от­ку­да

Ответ:

Обо­зна­чим точки пе­ре­се­че­ния пря­мой SO со сфе­рой через P и Q (точка P лежит на от­рез­ке SO, а Q  — вне него). Пусть ра­ди­ус сферы равен r. Тре­уголь­ни­ки OKS, OLS и OMS пря­мо­уголь­ные (углы при вер­ши­нах K, L, M пря­мые, так как ка­са­тель­ные пер­пен­ди­ку­ляр­ны ра­ди­у­сам, про­ведённым в точку ка­са­ния). Эти тре­уголь­ни­ки равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе SO  — общая), сле­до­ва­тель­но,

(пусть Вы­со­ты, опу­щен­ные из точек K, L, M на ги­по­те­ну­зу SO, равны, а их ос­но­ва­ния  — одна и та же точка H, ле­жа­щая в плос­ко­сти KLM (назовём эту плос­кость τ). Пусть β и ка­са­тель­ные плос­ко­сти к сфере, про­хо­дя­щие через точки P и Q, а E и F  — точки пе­ре­се­че­ния этих плос­ко­стей с пря­мой SK. По усло­вию пло­ща­ди се­че­ний трёхгран­но­го угла этими плос­ко­стя­ми равны со­от­вет­ствен­но и Рас­смот­рим се­че­ние трех­гран­но­го угла и сферы плос­ко­стью (см. рис. и обо­зна­че­ния на нем). Так как SH пер­пен­ди­ку­ляр­на HK и SH пер­пен­ди­ку­ляр­на HL, то τ и SH  — пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Тогда се­че­ния трёхгран­но­го угла плос­ко­стя­ми и   — по­доб­ные тре­уголь­ни­ки, плос­ко­сти ко­то­рых па­рал­лель­ны (все они пер­пен­ди­ку­ляр­ны SO).

Если   — пло­щадь тре­уголь­ни­ка, по­лу­ча­ю­ще­го­ся в се­че­нии трёхгран­но­го угла плос­ко­стью KLM, то из по­до­бия

Сле­до­ва­тель­но,

Тогда

от­ку­да

От­сю­да

Далее,

Зна­чит,

от­ку­да

Ответ:

а)  Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой ра­ди­у­са впи­сан­ной сферы где V  — объём, а S  — пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды. Объёмы пи­ра­мид ABCM и ABDM равны (грань ABM общая, а вер­ши­ны C и D рав­но­уда­ле­ны от плос­ко­сти A B M); кроме того и (ме­ди­а­на делит пло­щадь тре­уголь­ни­ка по­по­лам). Зна­чит, ра­вен­ство сфер, впи­сан­ных в пи­ра­ми­ды ABCM и ABDM, эк­ви­ва­лент­но усло­вию или ра­вен­ству высот, про­ведённых к сто­ро­не AB в тре­уголь­ни­ках ABC и A BD.

Пусть H и K  — про­ек­ции точки D на плос­кость ABC и пря­мую AB со­от­вет­ствен­но. Объём пи­ра­ми­ды равен а её вы­со­та равна 3. Зна­чит, пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна Тогда сто­ро­на ос­но­ва­ния а вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC равна 5. Зна­чит, DK также равно 5. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка DHK на­хо­дим

то есть точка H на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии 4 от пря­мой AB (H лежит на одной из двух пря­мых, па­рал­лель­ных AB, на рас­сто­я­нии 4 от неё). Тем самым, угол между гра­ня­ми при ребре AB равен

б)  При до­пол­ни­тель­ном усло­вии H лежит на луче CB, при этом от­ку­да

или

Из тре­уголь­ни­ка CDH по­лу­ча­ем, что Сле­до­ва­тель­но, или

Ответ: а) б) или

а)  Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой ра­ди­у­са впи­сан­ной сферы где V  — объём, а S  — пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды. Объёмы пи­ра­мид ABCM и ABDM равны (грань ABM общая, а вер­ши­ны C и D рав­но­уда­ле­ны от плос­ко­сти ABM); кроме того и (ме­ди­а­на делит пло­щадь тре­уголь­ни­ка по­по­лам). Зна­чит, ра­вен­ство сфер, впи­сан­ных в пи­ра­ми­ды ABCM и ABDM, эк­ви­ва­лент­но усло­вию или ра­вен­ству высот, про­ведённых к сто­ро­не AB в тре­уголь­ни­ках ABC и ABD.

Пусть H и K  — про­ек­ции точки D на плос­кость ABC и пря­мую AB со­от­вет­ствен­но. Объём пи­ра­ми­ды равен а её вы­со­та равна 4. Зна­чит, пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна Тогда сто­ро­на ос­но­ва­ния а вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC равна 5. Зна­чит, DK также равно 5. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка DHK на­хо­дим

то есть точка H на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии 3 от пря­мой AB (H лежит на одной из двух пря­мых, па­рал­лель­ных AB, на рас­сто­я­нии 3 от неё). Тем самым, угол между гра­ня­ми при ребре AB равен

б)  При до­пол­ни­тель­ном усло­вии H лежит на луче CB, при этом от­ку­да

или

Из тре­уголь­ни­ка по­лу­ча­ем, что Сле­до­ва­тель­но, или

Ответ: а) б) или

Пусть дан тет­ра­эдр ABCD, а P, Q, R, S  — се­ре­ди­ны ребер BD, AD, AC и BC со­от­вет­ствен­но. Тогда пря­мые RS и PQ па­рал­лель­ны AB как сред­ние линии тре­уголь­ни­ков ABC и ABD, а пря­мые PS и QR па­рал­лель­ны DC как сред­ние линии тре­уголь­ни­ков BDC и ADC. От­сю­да не­мед­лен­но сле­ду­ет, что PQRS  — па­рал­ле­ло­грамм. Ho все его вер­ши­ны лежат на сфере, по­то­му он впи­сан­ный, т. е. PQRS  — пря­мо­уголь­ник. В силу па­рал­лель­но­сти сто­ро­нам пря­мо­уголь­ни­ка пря­мые AB и C D пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Ана­ло­гич­но и

До­ка­жем, что пер­пен­ди­ку­ляр­ность про­ти­во­по­лож­ных сто­рон тет­ра­эд­ра яв­ля­ет­ся до­ста­точ­ным усло­ви­ем того, что вы­со­ты тет­ра­эд­ра пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке. По­стро­им плос­кость, про­хо­дя­щую через ребро DC пер­пен­ди­ку­ляр­но AB. Вы­со­ты тет­ра­эд­ра, опу­шен­ные из точек D и C, лежат в этой плос­ко­сти, и, зна­чит, пе­ре­се­ка­ют­ся. Обо­зна­чим точку их пе­ре­се­че­ния через H. Вы­со­ты из вер­шин A и B также долж­ны пе­ре­се­кать вы­со­ты из вер­шин D и C, но так как они не лежат в плос­ко­сти DHC, пе­ре­се­кать их они могут толь­ко в точке H.

Пусть O₁, O₂ и O  — цен­тры сфер α, β и одной из n рав­ных сфер. AB  — от­ре­зок об­ра­зу­ю­щий ко­ну­са, ко­то­рой ка­са­ют­ся эти три сферы. Пусть ра­ди­ус сферы α равен 1, ра­ди­ус сферы равен x, а ра­ди­ус каж­дой из n рав­ных сфер равен y, рас­сто­я­ние от O до оси ко­ну­са O₁O₂ равно z. Вы­ра­зим сна­ча­ла y через x. Для этого про­ве­дем через O₁ и O пря­мые, па­рал­лель­ные AB, обо­зна­чим по­лу­чив­ши­е­ся точки пе­ре­се­че­ния K, M, P.

Не­труд­но найти

Из урав­не­ния или найдём

Для опре­де­ле­ния z вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка двумя спо­со­ба­ми (один раз по фор­му­ле Ге­ро­на):

Таким об­ра­зом, с учётом най­ден­но­го зна­че­ния y будем иметь

Так как при по­лу­ча­ем то По­сколь­ку

то n может при­ни­мать зна­че­ния 7, 8, 9.

Ответ: 7, 8, 9.

Обо­зна­чим ис­ко­мую ве­ли­чи­ну дву­гран­но­го угла через α. Пусть R и r  — ра­ди­у­сы, а и   — цен­тры боль­ше­го и мень­ше­го шаров со­от­вет­ствен­но, A и B  — ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ля­ров, про­ведённых из и к ребру дву­гран­но­го угла, β — угол между реб­ром дву­гран­но­го угла и Тогда (см. рис.)

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим

От­сю­да

и

При и по­лу­ча­ем

Ответ: 0,56 (точ­ное зна­че­ние:

Ре­ше­ние ана­ло­гич­но за­да­нию 3221.

Ответ: 0,33 (точ­ное зна­че­ние:

Пусть r  — ра­ди­ус впи­сан­но­го шара,   — ра­ди­ус ос­но­ва­ния, h  — вы­со­та ко­ну­са,   — угол между об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са и плос­ко­стью его ос­но­ва­ния, Тогда и

По усло­вию

При это урав­не­ние имеет два ре­ше­ния

причём оба удо­вле­тво­ря­ют усло­вию Зна­чит, воз­мож­ны два слу­чая, в одном из ко­то­рых объём шара равен

а в дру­гом

Ответ: или

Про­длим ребра усе­чен­ной пи­ра­ми­ды до пи­ра­ми­ды SABC (верх­ний рис.).

Обо­зна­чим Тогда шар, впи­сан­ный в усечённую пи­ра­ми­ду, также впи­сан и в пи­ра­ми­ду SABC. По­это­му

По­сколь­ку то

Зна­чит, ра­вен­ство (1) рав­но­силь­но

Из точки опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр на плос­кость ос­но­ва­ния ABC (ниж­ний. рис.). Обо­зна­чим Из сле­ду­ет, что

Тогда из на­хо­дим

Под­став­ляя в (2) зна­че­ние для r, по­лу­ча­ем:

Ис­поль­зуя ра­вен­ство

на­хо­дим: или Ис­ко­мое про­из­ве­де­ние равно

Ответ: 1,21.

Ре­ше­ние ана­ло­гич­но за­да­нию 3356.

Ответ: 4,84.

Раз­де­лим куб ABCDA'B'C'D' на 8 кубов с реб­ром и впи­шем в кубы, при­ле­га­ю­щие к вер­ши­нам A, C, B', D' чер­ные шары, а в осталь­ные  — белые. Оче­вид­но, что каж­дый чер­ный шар ка­са­ет­ся трех белых и на­о­бо­рот, а шары од­но­го цвета не имеют общих точек. Те­перь за­ме­ним чер­ные шары ша­ра­ми с диа­мет­ром а белые ша­ра­ми с диа­мет­ром где мень­ше по­ло­ви­ны ми­ни­маль­но­го рас­сто­я­ния между чер­ны­ми ша­ра­ми, так что все шары по-преж­не­му ка­са­ют­ся трех­гран­ных углов куба. Тогда чер­ные шары по-преж­не­му не будут иметь общих точек. До­ка­жем, что те­перь и шары раз­но­го цвета не имеют общих точек. Дей­стви­тель­но, пусть O₁, O₂  — цен­тры шаров, впи­сан­ных в трех­гран­ные углы при вер­ши­нах A и B, a r₁, r₂  — ра­ди­у­сы этих шаров. Тогда про­ек­ция от­рез­ка O₁O₂ на AB равна По­сколь­ку то сле­до­ва­тель­но, Таким об­ра­зом, ни­ка­кие два из наших вось­ми шаров не имеют общих точек, и можно не­мно­го уве­ли­чить их ра­ди­у­сы.

Ответ: да.

Обо­зна­чим через r₁ и r₂ со­от­вет­ствен­но ра­ди­у­сы сфер Q₁ и Q₂. Пусть ABCD  — ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды, M  — вер­ши­на пи­ра­ми­ды, E  — центр ос­но­ва­ния, F  — се­ре­ди­на CD. С по­мо­щью тео­ре­мы Пи­фа­го­ра найдём апо­фе­му бо­ко­вой грани MF и вы­со­ту пи­ра­ми­ды

Те­перь вы­чис­лим объём пи­ра­ми­ды V и её пол­ную по­верх­ность S:

По из­вест­ной фор­му­ле опре­де­лим ра­ди­ус впи­сан­ной сферы:

Про­ведём ка­са­тель­ную плос­кость к сфере Q₁, па­рал­лель­ную ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды. Она отсечёт от неё пи­ра­ми­ду Оче­вид­но, сфера Q₂ впи­са­на в эту пи­ра­ми­ду. Легко найти вы­со­ту отсечённой пи­ра­ми­ды:

Пи­ра­ми­да T по­доб­на ис­ход­ной с ко­эф­фи­ци­ен­том

В таком же от­но­ше­нии на­хо­дят­ся и ра­ди­у­сы их впи­сан­ных сфер. По­это­му

Ответ:

Обо­зна­чим через r₁ и r₂ со­от­вет­ствен­но ра­ди­у­сы сфер Q₁ и Q₂. Пусть ABCD  — ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды, M  — вер­ши­на пи­ра­ми­ды, E  — центр ос­но­ва­ния, F  — се­ре­ди­на CD. С по­мо­щью тео­ре­мы Пи­фа­го­ра найдём апо­фе­му бо­ко­вой грани MF и вы­со­ту пи­ра­ми­ды

Те­перь вы­чис­лим объём пи­ра­ми­ды V и её пол­ную по­верх­ность S:

По из­вест­ной фор­му­ле опре­де­лим ра­ди­ус впи­сан­ной сферы:

Про­ведём ка­са­тель­ную плос­кость к сфере Q₁, па­рал­лель­ную ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды. Она от сечёт от неё пи­ра­ми­ду Оче­вид­но, сфеpa Q₂ впи­са­на в эту пи­ра­ми­ду. Легко найти вы­со­ту отсечённой пи­ра­ми­ды:

Пи­ра­ми­да T по­доб­на ис­ход­ной с ко­эф­фи­ци­ент ом В таком же от но­ше­нии на­хо­дят­ся и ра­ди­у­сы их впи­сан­ных сфер. По­это­му

Ответ:

Пре­не­бре­гая ре­ля­ти­вист­ски­ми эф­фек­та­ми, можно счи­тать, что за­да­ча сво­дит­ся к сле­ду­ю­ще­му гео­мет­ри­че­ско­му во­про­су: каков наи­мень­ший набор точек A₁, A₂, ... A_n, чтобы для любой точки T на по­верх­но­сти сферы хотя бы один из от­рез­ков A_kT имел един­ствен­ное пе­ре­се­че­ние со сфе­рой в точке T. По­сколь­ку сферу можно вло­жить в тет­ра­эдр, то че­ты­рех спут­ни­ков до­ста­точ­но.

Те­перь не­об­хо­ди­мо до­ка­зать, что трех точек не до­ста­точ­но. Через три точки все­гда можно про­ве­сти плос­кость. Плос­кость A₁A₂A₃ может на­хо­дит­ся в одном из трех по­ло­же­ний от­но­си­тель­но сферы. Она может её пе­ре­се­кать, может её ка­сать­ся и может с ней не пе­ре­се­кать­ся. Во всех трех слу­ча­ях су­ще­ству­ет две по­ляр­ные точки на сфере, в ко­то­рых либо A₁A₂A₃, либо па­рал­лель­ная ей плос­кость ка­са­ет­ся сферы. Хотя бы одна из этих по­ляр­ных точек не видна ни из одной точки плос­ко­сти, по­это­му при любом рас­по­ло­же­нии точек A₁, A₂, A₃ в плос­ко­сти A₁A₂A₃, хотя бы одна из по­ляр­ных точек не будет видна.

За­ме­тим, что ана­ло­гич­ные со­об­ра­же­ния не ра­бо­та­ют для дру­гих фигур. На­при­мер, если бы наша пла­не­та об­ла­да­ла фор­мой пра­виль­но­го мно­го­гран­ни­ка, то до­ста­точ­но было бы всего двух точек. Так, на­при­мер, для куба до­ста­точ­но двух точек, рас­по­ло­жен­ных на пря­мой, со­дер­жа­щей его боль­шую диа­го­наль.

Ответ: не менее трех точек.

Пусть D₁  — точка ка­са­ния сферы и грани ABC и За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки BA₁D и BC₁D равны по трем сто­ро­нам   — ка­са­тель­ные к сфере из точки B,   — ка­са­тель­ные к сфере из точки D, BD  — общая сто­ро­на). Сле­до­ва­тель­но, (см. рис.). Ана­ло­гич­но равны углы, под ко­то­ры­ми видно любое ребро тет­ра­эд­ра из точек ка­са­ния при­ле­га­ю­щих к нему гра­ней. В част­но­сти, и Кроме того, верны со­от­но­ше­ния

из ко­то­рых за­клю­ча­ем, что

Оста­лось сло­жить три по­лу­чен­ных ра­вен­ства и по­лу­чить урав­не­ние на

из ко­то­ро­го сле­ду­ет ответ.

Ответ: 115.

Пусть D₁  — точка ка­са­ния сферы и грани ABC и За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки BA₁D и BC₁D равны по трем сто­ро­нам   — ка­са­тель­ные к сфере из точки B,   — ка­са­тель­ные к сфере из точки D, BD  — общая сто­ро­на). Сле­до­ва­тель­но, (см. рис.).

Ана­ло­гич­но равны углы, под ко­то­ры­ми видно любое ребро тет­ра­эд­ра из точек ка­са­ния при­ле­га­ю­щих к нему гра­ней. В част­но­сти, и Кроме того, верны со­от­но­ше­ния

из ко­то­рых за­клю­ча­ем, что

Оста­лось сло­жить три по­лу­чен­ных ра­вен­ства и по­лу­чить урав­не­ние на

из ко­то­ро­го сле­ду­ет ответ.

Ответ: 125.

Пусть D₁  — точка ка­са­ния сферы и грани ABC и За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки BA₁D и BC₁D paвны по трем сто­ро­нам   — ка­са­тель­ные к сфере из точки B, ка­са­тель­ные к сфере из точки D, BD общая сто­ро­на). Сле­до­ва­тель­но, (см. рис.). Ана­ло­гич­но равны углы, под ко­то­ры­ми видно любое ребро тет­ра­эд­ра из точек ка­са­ния при­ле­га­ю­щих к нему гра­ней. В част­но­сти, и Кроме того, верны со­от­но­ше­ния

из ко­то­рых за­клю­ча­ем, что

Оста­лось сло­жить три по­лу­чен­ных ра­вен­ства и по­лу­чить урав­не­ние на

из ко­то­ро­го сле­ду­ет ответ.

Ответ: 120.