Всего: 27 1–20 | 21–27
Добавить в вариант
имеет два различных корня x1 и x2; при этом
При этом условии по теореме Виета 
и 
Тогда 
Разделив обе части на 
и подставляя указанные выше значения, получаем 
или 
Неравенству 
удовлетворяет только 
— 1 балл.
имеет два различных корня x1 и x2; при этом
При этом условии по теореме Виета 
Тогда 
или 
Неравенству 
удовлетворяет только 
имеет два различных корня x1 и x2; при этом
При этом условии по теореме Виета 
Тогда 
или 
Неравенству 
удовлетворяет только 
имеет два различных корня x1 и x2; при этом
При этом условии по теореме Виета 
Тогда 
Разделив обе части на 
Неравенству 
удовлетворяют оба найденных значения параметра.
имеет два различных корня x1 и x2; при этом
При этом условии по теореме Виета 
Тогда 
Неравенству 
удовлетворяют оба найденных значения параметра.
Неравенству 
имеет два различных корня x1 и x2; при этом
(это неравенство верно при любых a). По теореме Виета 
Тогда 
отрицательны?
то сумма корней положительна, поэтому хотя бы один из них тоже положительный. Следовательно, 
Найдем при каких 
трехчлен имеет два корня. Для этого нужно, чтобы дискриминант d был больше нуля, то есть
и в этом случае у трехчлена есть два корня. Их произведение равно 9, значит, они одного знака. Сумма корней равна 
отличаются в два раза?
поэтому 
Следовательно, 
и, значит, 
Получился трехчлен 
с корнями 3 и 6, так что он нам подходит.
равно 9? В ответ запишите сумму всех таких значений p.
тогда по теореме Виета 
и 
Найдите все значения a, для которых квадратичная функция 
принимает во всех точках отрезка [0; 2] значения, модуль которых не превосходит 2. В ответе укажите суммарную длину промежутков, которым принадлежат найденные значения a.
была квадратичной, необходимо, чтобы 
Вершина параболы, являвшейся графиком данной функции, находится в точке 
Поскольку 
условие задачи выполнено, если 
то есть 
Значит, искомым множеством значений а является объединение 
а суммарная длина этих промежутков равна 4.
Найдите все значения a, для которых квадратичная функция 
принимает во всех точках отрезка [0; 4] значения, модуль которых не превосходит 3. В ответе укажите суммарную длину промежутков, которым принадлежат найденные значения a.
имеет хотя бы один отрицательный корень?
При 
правая часть неотрицательна и поэтому можно возвести обе части неравенства в квадрат, тогда будем иметь равносильное (для таких a) неравенство 
Решая его, получим
получаем ответ. 
вершины параболы 
условие задачи равносильно тому, что ордината вершины отрицательна, то есть 
Во втором случае (при 
условие задачи равносильно неравенству 
и мы приходим к тем же неравенствам, что и выше.
будет соответствовать 17 баллам.
состоит из одной точки.
либо имела один единственный корень, не превосходящий 1, либо имела два корня, меньший из которых был бы равен 1, то есть 
—
если числа b, x1, x2, c образуют геометрическую прогрессию.
и 
Система примет вид 
не подходит по смыслу. 
то 
откуда 
и 
то 
и 
то 
и 
или 
если числа b, x1, x2, c образуют геометрическую прогрессию.
Если 
то 
Если 
то 
или 
и 
имеет по два целых корня, при этом все эти корни меньше (−1). Найдите наименьшее значение a.
Ввиду того, что корни целые и меньше −1, их произведение больше 1, поэтому каждое из двух последовательных чисел 
и a является произведением двух различных целых чисел, больших 1. Так как первое нечетное число, не являющееся простым или квадратом простого, это 15, то получается 
то есть 
Тогда корни первого уравнения −3 и −5 (при этом 
корни второго уравнения −2 и −7 (при этом 
где x, y принимают произвольные значения из интервала [0, 1].
тогда 
Полученное выражение равно 0 при 
или 
или 
Следовательно, в области 
функция 
положительна ниже (или правее) прямой 
и тут достигается её максимум, и отрицательна — выше (или левее) этой прямой и тут достигается её минимум.
При каждом фиксированном 
квадратный трёхчлен 
принимает минимальное значение, равное 
при 
следовательно, минимальное значение всего выражения достигается при 
и равен 
Максимум же квадратного трёхчлена 
достигается на его конце при 
(значение на другом конце 
равно 0), и равен 
Следовательно, максимум 
который достигается при 
из интервале 
и равен 
максимальное значение — 
и 
—Для каждого a, при которых уравнение 
имеет три различных действительных корня, обозначим через 
эти корни, упорядоченные по убыванию 
Выясните, при каком из этих a выражение 
принимает наибольшее возможное значение. Ответ при необходимости округлите до двух знаков после запятой. Если таких a найдется несколько, то в ответе укажите их сумму.
Три решения 
будут тогда и только тогда когда прямая 
будет иметь три точки пересечения с графиком функции 
Найдём производную 
начиная со знака плюс на 
то локальный минимум 
и только при них уравнение 
будет иметь три различных решения. Введём обозначения 
и 
Следовательно, переменные u и v — решения квадратного уравнения: 
для этого вычислим производную и приравняем к нулю: 
при условии, что 
Откуда 
а из вида производной следует, что 
не меньше −1.
тогда и только тогда, когда 
и абсцисса вершины графика также лежит справа от 
Это приводит к системе 
