сайты - меню - вход - но­во­сти


Поиск
?


Скопировать ссылку на результаты поиска

Всего: 42    1–20 | 21–40 | 41–42

Добавить в вариант

Тип 0 № 6765
i

В стро­ку за­пи­са­но 2020 на­ту­раль­ных чисел. Каж­дое из них, на­чи­ная с тре­тье­го, де­лит­ся и на преды­ду­щее, и на сумму двух преды­ду­щих. Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать по­след­нее число в стро­ке?

 

(А. Гри­бал­ко)


На вы­со­тах AA0, BB0, CC0 ост­ро­уголь­но­го не­рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­ти­ли со­от­вет­ствен­но точки A1, B1, C1 так, что AA_1 = BB_1 = CC_1 = R, где R  — ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC. До­ка­жи­те, что центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка A_1B_1C_1 сов­па­да­ет с цен­тром впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC.

 

(Е. Ба­ка­ев)


На клет­ча­той плос­ко­сти от­ме­ти­ли 40 кле­ток. Все­гда ли найдётся клет­ча­тый пря­мо­уголь­ник, со­дер­жа­щий ровно 20 от­ме­чен­ных кле­ток?

 

(М. Ев­до­ки­мов)


Для бес­ко­неч­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти a_1, a_2, ... её пер­вая про­из­вод­ная  — это по­сле­до­ва­тель­ность a′n=a_n плюс 1 минус a_n, (где n=1, 2, ... пра­вая круг­лая скоб­ка , а её k-я про­из­вод­ная  — это пер­вая про­из­вод­ная её (k−1)-й про­из­вод­ной  левая круг­лая скоб­ка k = 2, 3, ... пра­вая круг­лая скоб­ка . Назовём по­сле­до­ва­тель­ность хо­ро­шей, если она и все её про­из­вод­ные со­сто­ят из по­ло­жи­тель­ных чисел. До­ка­жи­те, что если a_1, a_2, ... и b_1, b_2, ...  — хо­ро­шие по­сле­до­ва­тель­но­сти, то и a_1 умно­жить на b_1, a_2 умно­жить на b_2,...  — хо­ро­шая по­сле­до­ва­тель­ность.

 

(Р. Са­ли­мов)


На сфере ра­ди­у­са 1 дан тре­уголь­ник, сто­ро­ны ко­то­ро­го  — дуги трёх раз­лич­ных окруж­но­стей ра­ди­у­са 1 с цен­тром в цен­тре сферы, име­ю­щие длины мень­ше π, а пло­щадь равна чет­вер­ти пло­ща­ди сферы. До­ка­жи­те, что че­тырь­мя ко­пи­я­ми та­ко­го тре­уголь­ни­ка можно по­крыть всю сферу.

 

(А. За­слав­ский)


Тип 0 № 6770
i

Дан бес­ко­неч­ный запас белых, синих и крас­ных ку­би­ков. По кругу рас­став­ля­ют любые N из них. Робот, став в любое место круга, идёт по ча­со­вой стрел­ке и, пока не оста­нет­ся один кубик, по­сто­ян­но по­вто­ря­ет такую опе­ра­цию: уни­что­жа­ет два бли­жай­ших ку­би­ка перед собой и ста­вит по­за­ди себя новый кубик того же цвета, если уни­что­жен­ные оди­на­ко­вы, и тре­тье­го цвета, если уни­что­жен­ные двух раз­ных цве­тов. Назовём рас­ста­нов­ку ку­би­ков хо­ро­шей, если цвет остав­ше­го­ся в конце ку­би­ка не за­ви­сит от места, с ко­то­ро­го стар­то­вал робот. Назовём N удач­ным, если при любом вы­бо­ре N ку­би­ков все их рас­ста­нов­ки хо­ро­шие. Най­ди­те все удач­ные N.

 

(И. Бог­да­нов)


В пер­вый день 2n школь­ни­ков иг­ра­ли в пинг-понг «на­вы­лет»: сна­ча­ла сыг­ра­ли двое, затем по­бе­ди­тель сыг­рал с тре­тьим, по­бе­ди­тель этой пары  — с четвёртым и т. д., пока не сыг­рал по­след­ний школь­ник (ни­чьих в пинг-понге не бы­ва­ет). Во вто­рой день те же школь­ни­ки разыг­ра­ли кубок: сна­ча­ла про­из­воль­но раз­би­лись на пары и сыг­ра­ли в парах, про­иг­рав­шие вы­бы­ли, а по­бе­ди­те­ли снова про­из­воль­но раз­би­лись на пары и сыг­ра­ли в парах, и т. д. Ока­за­лось, что на­бо­ры иг­рав­ших пар в пер­вый и во вто­рой день были одни и те же (воз­мож­но, по­бе­ди­те­ли были дру­гие). Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние n.

 

(Б. Френ­кин)


Сфера ка­са­ет­ся 99 рёбер не­ко­то­рой вы­пук­лой 50-уголь­ной пи­ра­ми­ды. Обя­за­тель­но ли тогда она ка­са­ет­ся и 100-го ребра этой пи­ра­ми­ды?

 

(М. Ев­до­ки­мов)


Тип 0 № 7018
i

Для по­ло­жи­тель­ных чисел x_1, ..., x_n до­ка­жи­те не­ра­вен­ство:

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x_1, зна­ме­на­тель: x_2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 4 плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x_2, зна­ме­на­тель: x_3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 4 плюс ... плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x_n, зна­ме­на­тель: x_1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 4 боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: x_1, зна­ме­на­тель: x_5 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x_2, зна­ме­на­тель: x_6 конец дроби плюс ... плюс дробь: чис­ли­тель: x_n минус 3, зна­ме­на­тель: x_1 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x_n минус 2, зна­ме­на­тель: x_2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x_n минус 1, зна­ме­на­тель: x_3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: x_n, зна­ме­на­тель: x_4 конец дроби .

 

(М. Фадин)


Клет­ки доски 100 × 100 рас­кра­ше­ны в чёрный и белый цвета в шах­мат­ном по­ряд­ке. Можно ли пе­ре­кра­сить ровно 2018 раз­лич­ных кле­ток этой доски в про­ти­во­по­лож­ный цвет так, чтобы в каж­дой стро­ке и в каж­дом столб­це ока­за­лось одно и то же ко­ли­че­ство чёрных кле­ток?

 

(Ю. Че­ка­нов)


Дан тре­уголь­ник XBC. Раз­лич­ные точки A_H, A_I, Am та­ко­вы, что X яв­ля­ет­ся ор­то­цен­тром тре­уголь­ни­ка A_HBC, цен­тром впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка AIBC и точ­кой пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка A_MBC. До­ка­жи­те, что если A_HA_M и BC па­рал­лель­ны, то AI  — се­ре­ди­на A_HA_M.

 

(Е. Ба­ка­ев)


Для каких на­ту­раль­ных n верно сле­ду­ю­щее утвер­жде­ние: для про­из­воль­но­го мно­го­чле­на P сте­пе­ни n с це­лы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми най­дут­ся такие раз­лич­ные на­ту­раль­ные a и b, для ко­то­рых P левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка плюс P левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка де­лит­ся на a + b?

 

(Г. Жуков)


Тип 0 № 7029
i

Хо­зяй­ка ис­пек­ла квад­рат­ный торт и от­ре­за­ла от него не­сколь­ко кус­ков. Пер­вый раз­рез про­ведён па­рал­лель­но сто­ро­не ис­ход­но­го квад­ра­та от края до края. Сле­ду­ю­щий раз­рез про­ведён в остав­шей­ся части от края до края пер­пен­ди­ку­ляр­но преды­ду­ще­му раз­ре­зу, далее ана­ло­гич­но (сколь­ко-то раз). Все от­ре­зан­ные куски имеют рав­ную пло­щадь. Может ли остав­ша­я­ся часть торта быть квад­ра­том?


Пусть X  — не­ко­то­рая фик­си­ро­ван­ная точка на сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC (X от­лич­на от A и C). Про­из­воль­ная окруж­ность, про­хо­дя­щая через X и B, пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AC и опи­сан­ную окруж­ность тре­уголь­ни­ка ABC в точ­ках P и Q, от­лич­ных от X и B. До­ка­жи­те, что все воз­мож­ные пря­мые PQ про­хо­дят через одну точку.


16 кар­то­чек с це­лы­ми чис­ла­ми от 1 до 16 раз­ло­же­ны ли­це­вой сто­ро­ной вниз в виде таб­ли­цы 4 × 4 так, что кар­точ­ки, на ко­то­рых за­пи­са­ны со­сед­ние числа, лежат рядом (со­при­ка­са­ют­ся по сто­ро­не). Какое наи­мень­шее число кар­то­чек нужно од­но­вре­мен­но пе­ре­вер­нуть, чтобы на­вер­ня­ка опре­де­лить ме­сто­по­ло­же­ние всех чисел (как бы ни были раз­ло­же­ны кар­точ­ки)?


Тип 0 № 7032
i

Име­ет­ся на­ту­раль­ное 1001-знач­ное число A. Где 1001-знач­ное число Z  — то же число A, за­пи­сан­ное от конца к на­ча­лу (на­при­мер, для четырёхзнач­ных чисел это могли быть 7432 и 2347). Из­вест­но, что A > Z. При каком A част­ное  дробь: чис­ли­тель: A, зна­ме­на­тель: Z конец дроби будет наи­мень­шим (но стро­го боль­ше 1)?


Можно ли рас­по­ло­жить в про­стран­стве пять сфер так, чтобы для каж­дой из сфер можно было про­ве­сти через ее центр ка­са­тель­ную плос­кость к осталь­ным че­ты­рем сфе­рам? Сферы могут пе­ре­се­кать­ся и не обя­за­ны иметь оди­на­ко­вый ра­ди­ус.


Тип 0 № 7034
i

Дано на­ту­раль­ное число n боль­ше 1. Что боль­ше: ко­ли­че­ство спо­со­бов раз­ре­зать клет­ча­тый квад­рат 3n \times 3n на клет­ча­тые пря­мо­уголь­ни­ки 1\times 3 или ко­ли­че­ство спо­со­бов раз­ре­зать клет­ча­тый квад­рат 2n \times 2n на клет­ча­тые пря­мо­уголь­ни­ки 1\times 2?


Тип 0 № 7091
i

В таб­ли­це n × n стоят все целые числа от 1 до n2, по од­но­му в клет­ке. В каж­дой стро­ке числа воз­рас­та­ют слева на­пра­во, в каж­дом столб­це  — снизу вверх. До­ка­жи­те, что наи­мень­шая воз­мож­ная сумма чисел на глав­ной диа­го­на­ли, иду­щей свер­ху слева вниз на­пра­во, равна 1 в квад­ра­те плюс 2 в квад­ра­те плюс ... плюс n в квад­ра­те .

 

(Б. Френ­кин)


Лу­но­ход ездит по по­верх­но­сти пла­не­ты, име­ю­щей форму шара с дли­ной эк­ва­то­ра 400 км. Пла­не­та счи­та­ет­ся пол­но­стью ис­сле­до­ван­ной, если лу­но­ход по­бы­вал на рас­сто­я­нии по по­верх­но­сти не более 50 км от каж­дой точки по­верх­но­сти и вер­нул­ся на базу (в ис­ход­ную точку). Может ли лу­но­ход пол­но­стью ис­сле­до­вать пла­не­ту, пре­одо­лев не более 600 км?

 

(М. Ев­до­ки­мов)

Всего: 42    1–20 | 21–40 | 41–42