Поиск
?
Всего: 38 1–20 | 21–38
Добавить в вариант
на простые множители имеет вид либо n = p9, либо n = p1p24. Действительно, для каждого j = 1, . . . , k1 имеется (k2 + 1) . . . (ks + 1) делителей числа n, содержащих p1 в степени j в разложении на простые множители: все эти делители имеют вид 
Следовательно, произведение всех делителей числа n содержит p1 в степени (k2 + 1) . . . (ks + 1)(1 + . . . + k1) = 1/2(k1 + 1) . . . (ks + 1)k1. Условие, что произведение всех делителей равно n5, эквивалентно утверждению, что каждое pj входит в их произведение в степени 5kj, и, тем самым, предыдущее выражение равно 5k1. Другими словами, 1/2(k1 + 1) . . . (ks + 1) = 5. С другой стороны, 
Отсюда следует, что 
Пусть s = 2. Тогда одно из kj, скажем, k1 равно 1, а тогда k2 = 4 (простота числа 5). В случае, когда s = 1, k1 = k, получаем уравнение 1/2(k + 1) = 5, то есть k = 9. Итак, все числа 
удовлетворяющие условию задачи, имеют разложение на простые множители вида либо n = p1p24, 
либо n = p9; p1, p2, p > 1. Перечислим те из них, которые лежат между 400 и 600.
тем самым, 
Итак, 
Следовательно, 
а значит,
Делитель натурального числа называется собственным, если он отличен от 1 и самого этого числа. Найдите все натуральные числа, у которых разница между суммой двух самых больших собственных делителей и суммой двух самых маленьких собственных делителей есть простое число.
равно 
(Например, число 12 имеет 6 делителей: 1,2,3,4,6,12.)
Тогда количество делителей числа n равно 
Из условия задачи имеем равенство:
при 
при 
при 
Следовательно, 
может принимать значения 1, 2 или 3. Подставляя указанные значения в 
найдем, что 
или 
при 
при 
при 
(Например, число 12 имеет 6 делителей: 1,2,3,4,6,12.)
при 
и 
при 
может принимать значения 1 или 2. Подставляя указанные значения в равенство 
или 
Число его делителей по известной формуле равно 
Число 
и число его делителей равно: 
Согласно условию: 
Число 
Аналогично предыдущему, получим: 
Наконец, 
откуда найдем: 
или: 
Отсюда: 
Следовательно, 
имеет 70 делителей. 
имеет 160 делителей. 
где M включает все остальные множители. Обозначив число делителей M через p, будем и меть 
Отсюда: 
Очевидно, второй корень не годится. Итак, 
Тогда 
Подставив в одно из исходных уравнений, найдем 
Следовательно, 
Тогда 
имеет ровно шесть различных натуральных делителей. Докажите, что число 
является квадратом натурального числа.
и 
число 
не имеет ровно шести различных натуральных делителей. Поэтому 
Ровно шесть делителей могут иметь лишь числа вида p5 или 
p и q− различные простые числа. Заметим, что 
и 
Тогда число 
или 
а другой q. Но число 
не может быть точным квадратом, поскольку 
что и нужно доказать. 
число 
или 
В случае 
—
делителей. Определите количество делителей числа 
поэтому общее количество делителей числа М не превышает 
и 
поэтому 
Кроме того, из условия следует, что 
Это число имеет 2 делителя, поэтому 
Но у числа L тоже 2 делителя, а вовсе не 
Не подходит.
Это число имеет 3 делителя, поэтому 
У числа 3 имеются 2 делителя, что как раз равно 
Это подходит. 
Это число имеет 4 делителя, поэтому 
У числа 4 имеются 3 делителя, что как раз равно 
и 
а также 
и 
равна 10, во втором случае она равна 14. Но и у 10, и у 14 количество делителей одинаково и равно 4. 
Общее количество таких делителей равно 
Число делителей числа n равно 
то имеем пять случаев: 
наименьшее число 
наименьшее число 
наименьшее число 
наименьшее число 
наименьшее число 
где p1 и p2 простые, причем 
и 
или 
и 
и 
или 
и 
и 
Поскольку сумма всех делителей равна 186, то 
то 
и
и 
Поскольку сумма всех делителей равна 186, то 
и
и 
тогда 
различных натуральных делителей числа n, допускающего разложение на простые множители 
выражается формулой 
где 
при этом каждый показатель 
можно выбрать 
способом (от 0 до 
Таким образом, требуется найти наименьшее число n вида (1), для которого 
и простые множители 
Кроме того, несложно видеть, что для фиксированного (упорядоченного по невозрастанию) набора показателей среди всех чисел вида (1) наименьшим является число, у которого 
это первые k простых чисел, взятые в порядке увеличения (см. замечание). Действительно, если 
то 
(поскольку 
и перестановка множителей 
и 
позволяет уменьшить искомое число. При этом, очевидно, должны быть задействованы все наименьшие простые множители. Далее, заметим, что число 10 как иначе 
и так как иначе 
до 
есть n различных нечётных чисел, которые не превышают 
Следовательно, это числа 
все делители числа 
имеют вид 
где 
При этом точными кубами являются числа вида 
где 
то есть 
Таких чисел 
Любой его делитель — это произведение 
где 
и 
Таким образом, имеем 5 вариантов выбора степени двойки и по три — тройки и пятерки, то есть всего 
вариантов.Всего: 38 1–20 | 21–38