Всего: 127 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Пять карточек лежат на столе, как показано на рисунке. На каждой из карточек на одной стороне написано некоторая буква, а на другой стороне — натуральное число. Петр сказал: «Если на одной стороне карты написана гласная буква, то на другой стороне этой карты написано четное число». Перевернув одну карту, Катя показала, что Петр ошибается. Какую карту перевернула Катя?
Какое число останется после 99 таких операций?
, на основании которого без дополнительных пояснений представлен правильный ответ.Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от девяти последовательных натуральных чисел до некоторого числа a равна 294, а сумма расстояний от этих же девяти чисел до некоторого числа b равна 1932. Найдите все возможные значения a, если известно, что a + b = 256.
...,
Заметим, что если некоторое число лежит на отрезке 
то сумма расстояний от него до данных девяти чисел не превосходит 
(сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна 8, сумма расстояний до 
и 
не превосходит 8, сумма расстояний до 
и 
также не превосходит 8 и т. д.; расстояние до 
не превосходит половины длины отрезка между крайними числами, т. е. 4). Следовательно, числа a и b лежат вне отрезка 
Тогда сумма расстояний от числа a до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой 
Получаем систему уравнений
Тогда 
Torда 
Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от восьми последовательных натуральных чисел до некоторого числа a равна 612, а сумма расстояний от этих же восьми чисел до некоторого числа b равна 240. Найдите все возможные значения
Заметим, что если некоторое число лежит на отрезке 
(сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна 7 , сумма расстояний до 
также не превосходит 7 и т. д.). Следовательно, числа a и b лежат вне отрезка 
Тогда сумма расстояний от числа a до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой 
Получаем систему уравнений 
Тогда 
Тогда 
слева от отрезка 
Даны 2117 карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 2117 (на каждой карточке написано ровно одно число, притом числа не повторяются). Требуется выбрать две карточки, для которых сумма написанных на них чисел делится на 100. Сколькими способами это можно сделать?
вариантов. 
Для каждой из них пару можно 
Для каждой из них пару можно выбрать 21 способом (аналогично предыдущему случаю). Таким образом, получаем 
Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от двадцати последовательных натуральных чисел до некоторого числа a равна 4460, а сумма расстояний от этих же двадцати чисел до числа a2 равна 2755. Найдите все возможные значения a.
Заметим, что если некоторое число лежит на отрезке 
то сумма расстояний от него до данных двадцати чисел не превосходит 
(сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна 19, сумма расстояний до 
не превосходит 19, сумма расстояний до 
также не превосходит 19 и т. д.). Следовательно, числа a и 
лежат вне отрезка 
Тогда сумма расстояний от числа а до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой 
Получаем систему уравнений 
Тогда 
справа от отрезка 
отсюда 
отсюда 
следовательно, оба значения a подходят. 
то оба числа a и a2 лежат на отрезке [0; 1], но тогда между ними не может поместиться ни одно целое число. Итак, возможны два 
не разобран — баллы не снимаются. Даны 2414 карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 2414 (на каждой карточке написано ровно одно число, притом числа не повторяются). Требуется выбрать две карточки, для которых сумма написанных на них чисел делится на 100. Сколькими способами это можно
сделать?
Для каждой из них пару можно 
Для каждой из них пару можно выбрать 24 способами (аналогично предыдущему случаю). Таким образом, получаем 
Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от двадцати последовательных натуральных чисел до некоторого числа a равна 360, а сумма расстояний от этих же двадцати чисел до числа a2равна 345. Найдите все возможные значения a.
следовательно, оба значения a подходят. 
но тогда между ними не может поместиться ни одно целое число. Итак, возможны два случая: 
и 
Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от семи последовательных натуральных чисел до некоторого числа a равна 609, а сумма расстояний от этих же семи чисел до некоторого числа b равна 721. Найдите все возможные значения a, если известно, что a + b = 192.
..., 
то сумма расстояний от него до данных семи чисел не превосходит 
(сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна 6, сумма расстояний до 
не превосходит половины длины отрезка между крайними числами, т. е. 3). Следовательно, числа a и b лежат вне отрезка 
Тогда сумма расстояний от числа a до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой 
Получаем систему уравнений 
Тогда 
Тогда 
слева от отрезка 
Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от тридцати трёх последовательных натуральных чисел до некоторого числа a равна 3168, а сумма расстояний от этих же тридцати трёх чисел до некоторого числа b равна 924. Найдите все возможные значения a, если известно, что a + b = 120.
то сумма расстояний от него до данных тридцати трёх чисел не превосходит 
(сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна 32, сумма расстояний до 
не превосходит 32, сумма расстояний до 
также не превосходит 32 и т. д.; расстояние до 
не превосходит половины длины отрезка между крайними числами, т. е. 16). Следовательно, числа a и b лежат вне отрезка 
Тогда сумма расстояний от числа a до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой 
Получаем систему уравнений 
Тогда 
Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от шестнадцати последовательных натуральных чисел до некоторого числа a равна 636, а сумма расстояний от этих же шестнадцати чисел до числа a2 равна 591. Найдите все возможные значения a.
то сумма расстояний от него до данных шестнадцати чисел не превосходит 
(сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна 15 , сумма расстояний до 
не превосходит 15 , сумма расстояний до 
также не превосходит 15 п т. д.). Следовательно, числа a и 
Тогда сумма расстояний от числа a до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой 
Аналогично, сумма расстояний от числа 
Получаем систему уравнений 
Тогда 
то подходит только случай 
(тогда 
в случае 
оказывается, что 
иррациональное число, что не удовлетворяет условию. 
но тогда между ними не может поместиться ни одно целое число. 
Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от двадцати семи последовательных натуральных чисел до некоторого числа a равна 1926, а сумма расстояний от этих же двадцати семи чисел до числа a2 равна 1932. Найдите все возможные значения a.
то сумма расстояний от него до данных двадцати семи чисел не превосходит 
(сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна 26, сумма расстояний до 
не превосходит 26, сумма расстояний до 
также не превосходит 26 и т. д.; расстояние до 
Тогда сумма расстояний от числа а до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой 
Получаем систему уравнений 
Тогда 
(тогда 
в случае 
оказывается, что 
Тогда 
Очевидно, этот случай не подходит, так как если 
и b2. Можно ли с помощью таких операций из тройки 
получить тройку 
?
На 19 карточках написаны числа 15, 16,17, ..., 33 соответственно (по одному числу на карточке). Участники математического кружка Вася, Петя и Миша собрались разделить между собой все карточки так, чтобы каждому досталась хотя бы одна карточка и ни у кого не нашлось пары карточек, разность которых нечетна. Сколько существует способов такого дележа?
способами. Но при этом будет 2 способа, когда кто-то из этих двух ребят останется без табличек. Значит, получается 
способов. 
На 17 карточках написаны числа 10, 11, 12, ..., 26 соответственно (по одному числу на карточке). Участники математического кружка Вася, Петя и Миша собрались разделить между собой все карточки так, чтобы каждому досталась хотя бы одна карточка и ни у кого не нашлось пары карточек, разность которых нечетна. Сколько существует способов такого дележа?
Сашин компьютер умеет делать две операции. Если в него загрузить карточку с числом a, то он вернет ее назад и напечатает еще карточку с числом 
Если же в него последовательно загрузить карточки с числами a и b, то он вернет их назад и напечатает карточки со всеми корнями квадратного трехчлена 
(одну, две, или ни одной). Изначально у Саши была лишь карточка с числом s. Верно ли, что при любом s > 0 Саша сможет в какой-то момент получить карточку с числом 
(А. Храбров)
затем по карточкам 
и [s] напечатаем карточки с корнями квадратного трехчлена 
т. е. [−1] и 
Далее по карточке [−1] сделаем карточку 
и, наконец, по карточкам [0] и [
] напечатаем карточки с корнями квадратного трехчлена 
т. е. 
и 
В клетках таблицы 3 на n записаны натуральные числа. В каждой из трёх строчек встречается по одному разу
(Н. Филонов)
делится на n и, в частности, четно. Если бы среди чисел a, b и с было два или три нечетных, то число 
а во всей таблице — 
Противоречие.
Дальше заменим все числа, не кратные n, на их остатки при делении на n, а числа, кратные n, заменим на n. В новой таблице стоят уже натуральные числа, не превосходящие n, и в каждом столбце сумма попарных произведений чисел 
записаны натуральные числа. В каждой из 
строк по одному разу встречаются 
На доске написаны числа от 1 до 20002. Вася выбрал из них 2000 чисел, сумма которых в 2000 раз меньше суммы всех чисел на доске, и покрасил их в красный цвет. Докажите, что его друг Петя сможет покрасить остальные числа в другие 1999 цветов (в каждый цвет по 2000 чисел) так, чтобы суммы чисел каждого цвета были одинаковы.
(А. Голованов)
От числа n нам потребуется лишь четность, таким образом, самом деле мы решим задачу для произвольного четного числа вместо 2000. Сумма чисел от 1 до 
равна 
а она же, уменьшенная в n раз, равна 
Разобьем все числа от 1 до 
в каждой паре. Посмотрим, как разместились в парах красные числа. Пусть они образуют k полностью красных пар и входят в 
пар в качестве одного из чисел. Покрасим в синий цвет оставшиеся числа в 
Стало 6ыть, сумма синих чисел равна s. В оставшиеся цвета покрасить совсем просто: для очередного цвета возьмем 
еше не использованных пар чисел и покрасим пх в этот цвет. Сумма чисел в этих парах как раз равна s.
Вася выбрал из них n чисел, сумма которых в n раз меньше суммы всех чисел на доске, и покрасил их в красный цвет. Докажите, что это друг Петя сможет покрасить остальные числа в другие 
Цветов (в каждый цвет по n чисел) так, чтобы суммы чисел каждого цвета были одинаковы.
делится на b. Если утверждение задачи неверно, то из каждого числа a ведет стрелка как минимум в одно из чисел 
Кроме того, несложно видеть, что из числа n ведет стрелка в само число n. В самом деле, 
делится на n, поскольку 
стрелок. Следовательно, в одно из чисел ведет как минимум две стрелки. Но это невозможно: если 
и 
делятся на b, то 
кратно b, в то время как 