Всего: 653 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
искомые числа могут состоять из следующих цифр: а) две двойки, две пятёрки, одна семёрка и три единицы или б) четвёрка, две пятёрки, одна семёрка и четыре единицы. Вычислим количество вариантов в каждом случае. 
Окончательно получаем 
Дана геометрическая прогрессия 
все члены которой положительны, а их сумма равна S. Известно, что если все её члены с номерами, кратными 3 (т. е. 
увеличить в 50 раз, сумма S увеличится в 10 раз. А как изменится S, если все её члены, стоящие на чётных местах (т. е. 
увеличить в 2 раза?
Если 
значит, сумма первых n членов прогрессии может быть посчитана по формуле 
... 
Отсюда 
раз.
получаем 
(тогда 
что не подходит по ОДЗ, так как подкоренное выражение отрицательно), либо 
и 
и из них неравенству удовлетворяют 
Это и есть ответ к задаче.
или 
с дискриминантом, равным 
Значит, корни 
равны 
то есть 
и 
а неравенство принимает вид 
совпадает со знаком разности квадратов 
По воде вокруг поплавка против часовой стрелки по двум окружностям скользят водомерка и жук-плавунец. На поверхности воды введена прямоугольная система координат, в которой поплавок (общий центр окружностей) находится в точке (0; 0). Скорость водомерки в два раза больше скорости жука. В начальный момент времени водомерка и жук находятся в точках 
и 
с соответственно. Определите координаты всех положений жука, при которых расстояние между насекомыми будет кратчайшим.
и 
соответственно, где 
и β — углы, которые образуют радиус-векторы точек M и N с положительным направлением оси абсцисс. Заметим, что угол между 
и 
равен π, и при этом 
где 
— углы, соответствующие начальным расположениям насекомых.
и 
равен нулю. Поскольку 
—
то угловая скорость водомерки в 5 раза больше угловой скорости жука.
Тогда 
Следовательно, 
Для 
получаем 
Координаты положения жука найдём по формулам 
и 
Используя координаты точки 
находим 
и 
вокруг начала координат на углы 
π, 
и имеют, соответственно, координаты 
а) Две окружности одинакового радиуса 5 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй — точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а 
На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что 
(точки A и F расположены по одну сторону от прямой CD). Найдите длину отрезка CF.
б) Пусть дополнительно известно, что 
Найдите площадь треугольника ACF.
— радиусы данных в условии окружностей, 
и 
Тогда 
и по теореме синусов 
и 
Заметим, что 
Далее, углы ADC и ACD вписаны в равные окружности и опираются на одну и ту же хорду AB, поэтому они равны, и из прямоугольного треугольника CAD находим, что 
Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке оба выражения 
и 
отрицательны. Таким образом, Уравнение принимает вид 
и 
Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем границы квадрата K с вершинами в точках 
и 
поэтому можно считать, что 
С учётом указанного замечания второе уравнение можно записать в виде 
Если 
у уравнения нет решений. При 
оно задаёт две точки (8; 6) и (−8; 6). Поскольку обе они не принадлежат квадрату K, система не имеет решений, и значение 
уравнение принимает вид 
с центром в точке (8; 6) (или её часть, лежащую в полуплоскости 
если вся она в этой полуплоскости не помещается). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены x на 
множество 
симметрично относительно оси Оу. Таким образом, 
график 
система уравнения имеет два решения — точки 
и 
Если 
дуга окружности 
дуга окружности 
система уравнений имеет два решения — точки (0; 0) и (0; 12). Наконец, если 
дуга окружности 
и 
искомые числа могут состоять из следующих цифр: а) две двойки, две пятёрки, две семёрки и две единицы или б) четвёрка, две пятёрки, две семёрки и три единицы. Вычислим количество вариантов в каждом случае. 
способов.Дана геометрическая прогрессия 
..., 
..., 
...,
Отсюда 
Если увеличить все члены прогрессии с чётными номерами втрое, получаем 
раз.
раз.
получаем 
(тогда 
что не подходит по ОДЗ, так как подкоренное выражение отрицательно), либо 
и из них неравенству удовлетворяют 
и 
Это и есть ответ к задаче.
или 
с дискриминантом, равным 
то есть 
а неравенство принимает вид 
Вокруг крючка с червяком в одной плоскости с ним по двум окружностям плавают карась и пескарь. В указанной плоскости введена прямоугольная система координат, в которой крючок (общий центр окружностей) находится в точке (0; 0). В начальный момент времени карась и пескарь находятся в точках 
и 
соответственно. Скорость карася в два с половиной раза больше скорости пескаря, оба двигаются по часовой стрелке. Определите координаты всех положений пескаря, при которых расстояние между рыбами будет кратчайшим.
где 
и 
—
то угловая скорость карася в 5 раза больше угловой скорости пескаря. Пусть к моменту совпадения направления векторов 
по часовой стрелке. Тогда 
где 
Следовательно, 
Координаты положения пескаря найдём по формулам 
и 
Используя координаты точки 
и 
−π, 
и имеют, соответственно, координаты 
а) Две окружности одинакового радиуса 13 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй — точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а 
= 90^\circ . На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что BF=BD (точки A и F расположены по одну сторону от прямой CD). Найдите длину отрезка CF.
б) Пусть дополнительно известно, что BC = 10. Найдите площадь треугольника ACF.
— радиусы данных в условии окружностей, 
Далее, углы ADC и ACD вписаны в равные окружности и опираются на одну и ту же хорду AB, поэтому они равны, и из прямоугольного треугольника CAD находим, что 
и 
положительны. Таким образом, уравнение принимает вид 
С учётом рассматриваемых ограничений подходит отрезок с концами в точках 
и 
Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем границы квадрата K с вершинами в точках 
и 
Эта фигура не имеет пересечения с полуплоскостью 
поэтому можно считать, что 
С учётом указанного замечания второе уравнение можно записать в виде 
и 
Поскольку обе они не принадлежат квадрату K, система не имеет решений, и значение 
график 
система уравнения имеет два решения — точки 
и 
Если 
дуга окружности 
дуга окружности 
система уравнений имеет два решения — точки (0; 0) и 
Наконец, если 
дуга окружности 
и 
искомые числа могут состоять из следующих цифр: а) три тройки, три пятёрки и две единицы или б) тройка, девятка, три пятёрки и три единицы. Вычислим количество вариантов в каждом случае. 
способов.
и 
где 
(или 
или 
— 2 балла.
или 
Далее возможны четыре случая.
Сфера с центром O вписана в трёхгранный угол с вершиной S и касается его граней в точках K, L, M (все плоские углы трёхгранного угла различны). Найдите угол KSO и площадь сечения данного трёхгранного угла плоскостью KLM, если известно, что площади сечений трёхгранного угла плоскостями, касающимися сферы и перпендикулярными прямой SO, равны 1 и 4.
SO — общая), следовательно, 
Высоты, опущенные из точек K, L, M на гипотенузу SO, равны, а их основания — одна и та же 
касательные плоскости к сфере, проходящие через точки P и Q, а E и F — точки пересечения этих плоскостей с прямой SK. По условию площади сечений трёхгранного угла этими плоскостями равны соответственно 
и 
Рассмотрим сечение трехгранного угла и сферы плоскостью 
(см. рис. и обозначения на нем). Так как SH перпендикулярна HK и SH перпендикулярна HL, то τ и SH — перпендикулярны. Тогда сечения трёхгранного угла плоскостями 
— площадь треугольника, получающегося в сечении трёхгранного угла плоскостью 
то из подобия 
и 
и 
отрицательны. Таким образом, уравнение принимает вид 
и 
Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем границы квадрата K с вершинами в точках 
и 
Эта фигура не имеет пересечения с полуплоскостью 
С учётом указанного замечания второе уравнение можно записать в виде 
график 
система уравнения имеет два решения — точки 
и 
Если 
дуга окружности 
дуга окружности 
система уравнений имеет два решения — точки (0; 0) и (0; 6). Наконец, если 
дуга окружности 
и 
а) Две окружности одинакового радиуса 5 пересекаются в точках A и B. На первой окружности выбрана точка C, а на второй — точка D. Оказалось, что точка B лежит на отрезке CD, а На перпендикуляре к CD, проходящем через точку B, выбрана точка F так, что (точки A и F расположены по одну сторону от прямой CD). Найдите длину отрезка CF.
б) Пусть дополнительно известно, что 
Найдите площадь треугольника ACF.
и 
Далее, углы ADC и ACD вписаны в равные окружности и опираются на одну и ту же хорду AB, поэтому они равны, и из прямоугольного треугольника CAD находим, что 
б) 