сайты - меню - вход - но­во­сти


Поиск
?


Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 5 6 7 8 9

Всего: 227    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80

Добавить в вариант

Дан такой квад­рат­ный трех­член f(x), что урав­не­ние  левая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе минус f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 имеет ровно три ре­ше­ния. Най­ди­те ор­ди­на­ту вер­ши­ны трех­чле­на f(x).


На 2016 кар­точ­ках на­пи­са­ли числа от 1 до 2016 (каж­дое по од­но­му разу). Затем взяли k кар­то­чек. При каком наи­мень­шем k среди них най­дут­ся две кар­точ­ки с чис­ла­ми, раз­ность кор­ней из ко­то­рых мень­ше 1?


Аналоги к заданию № 1923: 1953 Все


Тип 0 № 1925
i

Ве­ще­ствен­ные числа x, y и z удо­вле­тво­ря­ют усло­ви­ям x плюс y плюс z = 0  и x| плюс |y| плюс |z| мень­ше или равно 1. До­ка­жи­те не­ра­вен­ство

x плюс дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: z, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .


Аналоги к заданию № 1925: 1954 Все


Можно ли так рас­ста­вить в таб­ли­це 300 × 300 числа 1 и −1, что мо­дуль суммы чисел во всей таб­ли­це мень­ше 30 000, а в каж­дом из пря­мо­уголь­ни­ков 3 × 5 и 5 × 3 мо­дуль суммы чисел боль­ше 3?


Аналоги к заданию № 1927: 1956 Все


Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD. Опи­сан­ная окруж­ность ω тре­уголь­ни­ка ABC вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD и про­дол­же­ние сто­ро­ны DC в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка PDQ лежит на ω.


Аналоги к заданию № 1928: 1937 Все


Целые числа a, b и c удо­вле­тво­ря­ют ра­вен­ству

 левая круг­лая скоб­ка a плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка b плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те − левая круг­лая скоб­ка c плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те минус c в квад­ра­те .

До­ка­жи­те, что обе части ра­вен­ства яв­ля­ют­ся точ­ны­ми квад­ра­та­ми.


Аналоги к заданию № 1930: 1958 Все


Най­ди­те все такие мно­го­чле­ны f(x) сте­пе­ни не выше вто­рой, что для любых ве­ще­ствен­ных x и y, раз­ность ко­то­рых ра­ци­о­наль­на, раз­ность f(x) − f(y) также ра­ци­о­наль­на.


Тип 0 № 1934
i

Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство раз­лич­ных чисел от 1 до 1000 можно вы­брать так, чтобы раз­ность любых двух вы­бран­ных чисел не была равна ни од­но­му из чисел 4, 5, 6.


Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния

 дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: a плюс b, зна­ме­на­тель: x плюс y конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: a плюс b плюс c, зна­ме­на­тель: z плюс y плюс z конец дроби ,

где a, b, c при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 2, 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , а трой­ка чисел x, y и z есть не­ко­то­рая пе­ре­ста­нов­ка трой­ки чисел a, b, c.


Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство шах­мат­ных ко­ро­лей можно рас­ста­вить на доске 12 × 12 так, чтобы каж­дый ко­роль бил ровно од­но­го из осталь­ных?


Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD. Из вер­ши­ны B опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ляр BO на сто­ро­ну AD. Окруж­ность ω с цен­тром в точке O про­хо­дит через точки A, B и пе­ре­се­ка­ет про­дол­же­ние сто­ро­ны AD в точке K. От­ре­зок BK пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну CD в точке L, а луч OL пе­ре­се­ка­ет окруж­ность ω в точке M. До­ка­жи­те, что KM бис­сек­три­са угла BKC.


Аналоги к заданию № 1928: 1937 Все


На­ту­раль­ные числа a и b та­ко­вы, что a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те плюс a де­лит­ся на ab. До­ка­жи­те, что a яв­ля­ет­ся точ­ным квад­ра­том.


Су­ще­ству­ет ли такой квад­рат­ный трех­член f(x) с це­лы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми, что f левая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = 0?


Тип 0 № 1940
i

Из чисел 1, 2, 3, ..., 2016 вы­бра­ны k чисел. При каком наи­мень­шем k среди вы­бран­ных чисел обя­за­тель­но най­дут­ся два числа, раз­ность ко­то­рых боль­ше 672 и мень­ше 1344?


Тип 0 № 1941
i

Не­от­ри­ца­тель­ные числа x и y удо­вле­тво­ря­ют усло­вию x плюс y мень­ше или равно 1. До­ка­жи­те, что 12xy мень­ше или равно 4x левая круг­лая скоб­ка 1 минус y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 9y левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка .


Дана доска 2016 × 2016. При каком наи­мень­шем k клет­ки доски можно так рас­кра­сить в k цве­тов, что

1)  одна из диа­го­на­лей по­кра­ше­на в пер­вый цвет;

2)  клет­ки, сим­мет­рич­ные от­но­си­тель­но этой диа­го­на­ли, по­кра­ше­ны в оди­на­ко­вый цвет;

3)  любые две клет­ки рас­по­ло­жен­ные в одной стро­ке по раз­ные сто­ро­ны от клет­ки пер­во­го цвета по­кра­ше­ны в раз­ные цвета (клет­ки не обя­за­тель­но со­сед­ние с клет­кой пер­во­го цвета).


Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD. Окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны AC тре­уголь­ни­ка ABC, а также про­дол­же­ния сто­рон BA и BC в точ­ках P и S со­от­вет­ствен­но. От­ре­зок PS пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны DA и DC в точ­ках Q и R. До­ка­жи­те, что впи­сан­ная окруж­ность тре­уголь­ни­ка CDA ка­са­ет­ся сто­рон AD и DC в точ­ках Q и R.


При каких на­ту­раль­ных n число

 дробь: чис­ли­тель: 1! умно­жить на 2! умно­жить на \dots умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2n пра­вая круг­лая скоб­ка !, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ! конец дроби

яв­ля­ет­ся точ­ным квад­ра­том? Как обыч­но, n! обо­зна­ча­ет про­из­ве­де­ние всех на­ту­раль­ных чисел, не пре­вос­хо­дя­щих n. На­при­мер, 4! = 1 умно­жить на 2 умно­жить на 3 умно­жить на 4.


Квад­рат­ные трех­чле­ны f(x) и g(x) та­ко­вы, что [f(x)]  =  [g(x)] при всех x. До­ка­жи­те, что f(x)  =  g(x) при всех x. (Здесь [a] озна­ча­ет целую часть a, то есть наи­боль­шее целое число, не пре­вос­хо­дя­щее a.)


На встре­че лю­би­те­лей как­ту­сов 80 как­ту­со­фи­лов пред­ста­ви­ли свои кол­лек­ции, каж­дая из ко­то­рых со­сто­ит из как­ту­сов раз­ных видов. Ока­за­лось, что ни один вид как­ту­сов не встре­ча­ет­ся во всех кол­лек­ци­ях сразу, но у любых 15 че­ло­век есть как­ту­сы од­но­го и того же вида. Какое наи­мень­шее общее ко­ли­че­ство видов как­ту­сов может быть во всех кол­лек­ци­ях?

Всего: 227    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80