Дан­ное не­ра­вен­ство рав­но­силь­но

от­ку­да по фор­му­ле раз­но­сти квад­ра­тов

При­во­дя по­доб­ные, по­лу­чим:

Со­кра­щая (с уче­том

и до­мно­жая на по­ло­жи­тель­ный зна­ме­на­тель, при­хо­дим к не­ра­вен­ству

ко­то­рое вы­пол­ня­ет­ся для всех так как и Не­ра­вен­ство до­ка­за­но.

Наи­боль­шее воз­мож­ное число, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию за­да­чи 9 876 543 210. Кроме того, число долж­но быть не менее чем дву­знач­ным. Все осталь­ные такие числа могут быть по­лу­че­ны из 9 876 543 210 вы­чер­ки­ва­ни­ем одной, двух, трех, че­ты­рех, пяти, шести, семи или вось­ми цифр из де­ся­ти. Тогда общее ко­ли­че­ство

Ответ: 1013.

Члены ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии {5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ...} за­да­ют­ся фор­му­лой

Члены гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии {10, 20, 40, 80, ...} за­да­ют­ся фор­му­лой

Для общих эле­мен­тов долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство от­ку­да

то есть Ясно, что крат­но 3 при не­чет­ных k (оста­ток от де­ле­ния на 3 равен 2 или 1). Тогда

1)  при и общий эле­мент

2)  при и общий эле­мент

3)  при и общий эле­мент и т. д.

Таким об­ра­зом, ис­ко­мые эле­мен­ты: 20, 80, 320, ...  — члены ис­ход­ной гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии с не­чет­ны­ми но­ме­ра­ми. Они об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию со зна­ме­на­те­лем 4 и пер­вым чле­ном 20. Сумма 10 пер­вых чле­нов может быть най­де­на по фор­му­ле

Ответ: 6 990 500.

Обо­зна­чим пло­щадь каж­дой из дан­ных гра­ней S. Если грань рас­по­ла­га­ет­ся в плос­ко­сти про­ек­ции, то про­ек­ция тет­ра­эд­ра равна пло­ща­ди этой грани

При по­во­ро­те на угол пло­щадь про­ек­ции равна

При по­во­ро­те на угол пло­щадь про­ек­ции равна

Тогда

где при Мак­си­мум функ­ции в рас­смат­ри­ва­е­мом ин­тер­ва­ле до­сти­га­ет­ся при

При по­во­ро­те на угол пло­щадь про­ек­ции равна

При пло­щадь

Ответ:

За­ме­тим, что для любых a, b и c вы­пол­ня­ют­ся не­ра­вен­ства

(это не­ра­вен­ство рав­но­силь­но или и

тогда

Зна­чит,

При до­сти­га­ет­ся ра­вен­ство:

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния до­сти­га­ет­ся, на­при­мер, при то есть

Ответ: 4,5.

Дан­ное не­ра­вен­ство рав­но­силь­но

от­ку­да по фор­му­ле раз­но­сти квад­ра­тов

При­во­дя по­доб­ные, по­лу­чим:

Со­кра­щая (с уче­том

и до­мно­жая на по­ло­жи­тель­ный зна­ме­на­тель, при­хо­дим к не­ра­вен­ству

ко­то­рое вы­пол­ня­ет­ся для всех так как

Не­ра­вен­ство до­ка­за­но.

Любая из этих цифр встре­ча­ет­ся в любом раз­ря­де столь­ко раз, сколь­ки­ми спо­со­ба­ми можно рас­пре­де­лить осталь­ные че­ты­ре цифры по остав­шим­ся трем раз­ря­дам. Это число Сле­до­ва­тель­но, сумма цифр, сто­я­щих в каж­дом из че­ты­рех раз­ря­дов, взя­тая по всем че­ты­рех­знач­ным чис­лам, удо­вле­тво­ря­ю­щим усло­ви­ям за­да­чи, равна

a сумма самих че­ты­рех­знач­ных чисел

Ответ: 399 960.

Члены ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии {4, 7, 10, 13, 16, 19, ...} за­да­ют­ся фор­му­лой

Члены гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии {10, 20, 40, 80, ...} за­да­ют­ся фор­му­лой

Для общих эле­мен­тов долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство от­ку­да

то есть Ясно, что крат­но 3 при чет­ных k (оста­ток от де­ле­ния на 3 равен 2 или 1). Тогда

1)  при и общий эле­мент

2)  при и общий эле­мент

3)  при и общий эле­мент и т. д.

Таким об­ра­зом, ис­ко­мые эле­мен­ты: 10, 40, 160, ...  — члены ис­ход­ной гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии с чет­ны­ми но­ме­ра­ми. Они об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию со зна­ме­на­те­лем 4 и пер­вым чле­ном 10. Сумма 10 пер­вых чле­нов может быть най­де­на по фор­му­ле

Ответ: 3495250.

Обо­зна­чим пло­щадь каж­дой из дан­ных гра­ней S. Если грань рас­по­ла­га­ет­ся в плос­ко­сти про­ек­ции, то про­ек­ция тет­ра­эд­ра равна пло­ща­ди этой грани

При по­во­ро­те на угол пло­щадь про­ек­ции равна

При по­во­ро­те на угол пло­щадь про­ек­ции равна

Тогда

где при Мак­си­мум функ­ции в рас­смат­ри­ва­е­мом ин­тер­ва­ле до­сти­га­ет­ся при

При по­во­ро­те на угол пло­щадь про­ек­ции равна

При пло­щадь

Ответ:

За­ме­тим, что для любых a, b и c вы­пол­ня­ют­ся не­ра­вен­ства

(это не­ра­вен­ство рав­но­силь­но или и

тогда

Зна­чит,

При до­сти­га­ет­ся ра­вен­ство:

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния до­сти­га­ет­ся, на­при­мер, при то есть

Ответ: 4,5.

Дан­ное не­ра­вен­ство рав­но­силь­но

от­ку­да по фор­му­ле раз­но­сти квад­ра­тов

При­во­дя по­доб­ные, по­лу­чим:

Со­кра­щая (с уче­том

и до­мно­жая на по­ло­жи­тель­ный зна­ме­на­тель, при­хо­дим к не­ра­вен­ству

ко­то­рое вы­пол­ня­ет­ся для всех так как и Не­ра­вен­ство до­ка­за­но.

Наи­боль­шее воз­мож­ное число, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию за­да­чи 123 456 789. Кроме того, число долж­но быть не менее чем дву­знач­ным. Все осталь­ные такие числа могут быть по­лу­че­ны из 123 456 789 вы­чер­ки­ва­ни­ем одной, двух, трех, че­ты­рех, пяти, шести или семи цифр из де­вя­ти. Тогда общее ко­ли­че­ство

Ответ: 502.

Члены ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии {5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ...} за­да­ют­ся фор­му­лой

Члены гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии {20, 40, 80, 160, ...} за­да­ют­ся фор­му­лой

Для общих эле­мен­тов долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство от­ку­да

то есть Ясно, что крат­но 3 при чет­ных k (оста­ток от де­ле­ния на 3 равен 1 или 2). Тогда

1)  при и общий эле­мент

2)  при и общий эле­мент

3)  при и общий эле­мент и т. д.

Таким об­ра­зом, ис­ко­мые эле­мен­ты: 20, 80, 320, ...  — члены ис­ход­ной гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии с чет­ны­ми но­ме­ра­ми. Они об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию со зна­ме­на­те­лем 4 и пер­вым чле­ном 20. Сумма 10 пер­вых чле­нов может быть най­де­на по фор­му­ле

Ответ: 6 990 500.

Обо­зна­чим пло­щадь каж­дой из дан­ных гра­ней S.

Если грань рас­по­ла­га­ет­ся в плос­ко­сти про­ек­ции, то про­ек­ция тет­ра­эд­ра равна пло­ща­ди этой грани

При по­во­ро­те на угол пло­щадь про­ек­ции равна

При по­во­ро­те на угол пло­щадь про­ек­ции равна

Тогда

где при Мак­си­мум функ­ции в рас­смат­ри­ва­е­мом ин­тер­ва­ле до­сти­га­ет­ся при пло­щадь

так как

При по­во­ро­те на угол пло­щадь про­ек­ции равна

При пло­щадь

Ответ:

За­ме­тим, что для любых a, b и c вы­пол­ня­ют­ся не­ра­вен­ства

(это не­ра­вен­ство рав­но­силь­но или и

тогда

Зна­чит,

При до­сти­га­ет­ся ра­вен­ство:

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния до­сти­га­ет­ся, на­при­мер, при то есть

Ответ: 4,5.

Ре­ше­ние. Дан­ное не­ра­вен­ство рав­но­силь­но

от­ку­да по фор­му­ле раз­но­сти квад­ра­тов

При­во­дя по­доб­ные, по­лу­чим:

Со­кра­щая (с уче­том

и до­мно­жая на по­ло­жи­тель­ный зна­ме­на­тель, при­хо­дим к не­ра­вен­ству

ко­то­рое вы­пол­ня­ет­ся для всех так как

Не­ра­вен­ство до­ка­за­но.

Любая из этих цифр встре­ча­ет­ся в любом раз­ря­де столь­ко раз, сколь­ки­ми спо­со­ба­ми можно рас­пре­де­лить осталь­ные че­ты­ре цифры по остав­шим­ся трем раз­ря­дам. Это число Сле­до­ва­тель­но, сумма цифр, сто­я­щих в каж­дом из че­ты­рех раз­ря­дов, взя­тая по всем че­ты­рех­знач­ным чис­лам, удо­вле­тво­ря­ю­щим усло­ви­ям за­да­чи, равна

а сумма самих че­ты­рех­знач­ных чисел

Ответ: 399 960.

Члены ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии {4, 7, 10, 13, 16, 19, ...} за­да­ют­ся фор­му­лой

Члены гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии {20, 40, 80, ...} за­да­ют­ся фор­му­лой

Для общих эле­мен­тов долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство от­ку­да

то есть Ясно, что крат­но 3 при не­чет­ных k (оста­ток от де­ле­ния на 3 равен 2 или 1). Тогда

1)  при и общий эле­мент

2)  при и общий эле­мент

3)  при и общий эле­мент и т. д.

Таким об­ра­зом, ис­ко­мые эле­мен­ты: 40, 160, 640, ...  — члены ис­ход­ной гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии с не­чет­ны­ми но­ме­ра­ми. Они об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию со зна­ме­на­те­лем 4 и пер­вым чле­ном 40. Сумма 10 пер­вых чле­нов может быть най­де­на по фор­му­ле

Ответ: 13 981 000.

Обо­зна­чим пло­щадь каж­дой из дан­ных гра­ней S. Если грань рас­по­ла­га­ет­ся в плос­ко­сти про­ек­ции, то про­ек­ция тет­ра­эд­ра равна пло­ща­ди этой грани

При по­во­ро­те на угол пло­щадь про­ек­ции равна

При по­во­ро­те на угол пло­щадь про­ек­ции равна

Тогда

где при Мак­си­мум функ­ции в рас­смат­ри­ва­е­мом ин­тер­ва­ле до­сти­га­ет­ся при и

так как

При по­во­ро­те на угол пло­щадь про­ек­ции равна

При пло­щадь

Ответ:

За­ме­тим, что для любых a, b и c вы­пол­ня­ют­ся не­ра­вен­ства

(это не­ра­вен­ство рав­но­силь­но или и

тогда

Зна­чит,

При до­сти­га­ет­ся ра­вен­ство:

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния до­сти­га­ет­ся, на­при­мер, при то есть

Ответ: 4,5.