Всего: 57 1–20 | 21–40 | 41–57
Добавить в вариант
Гриша нарисовал на плоскости выпуклый 100-угольник и провел все его диагонали, и, о чудо, ни в какой точке кроме вершин 100-угольника не пересеклось больше двух отрезков. Сколькими способами Гриша может обвести маркером часть имеющихся на рисунке линий, чтобы получить треугольник (не обязательно состоящий из целых диагоналей и, быть может, содержащий внутри себя не обведенные линии)?
Какое максимальное число треугольников с вершинами в вершинах правильного 18-ти угольника можно отметить так, чтобы никакие две различных стороны этих треугольников не были параллельны? Треугольники при этом могут пересекаться и иметь общие вершины, совпадающие отрезки считаются параллельными.
а) Квадрат размера 1 на 1 разбит на 25 не обязательно одинаковых прямоугольников, каждый из которых имеет одинаковый периметр p. Найти минимальное и максимальное возможное значение p. б) Можно ли разбить единичный квадрат на 30 не обязательно одинаковых прямоугольников периметра 2?
В классе 25 учащихся. Для них были куплены билеты на один ряд в кинотеатре, состоящий из 25 мест, пронумерованных от 1 до 25. Несмотря на то, что каждый школьник получил индивидуальный билет, они сели на места своего ряда случайным образом. Какова вероятность того, что у каждого школьника для номера места N, на которое он сел, и номера места M, указанного в билете, выполнено неравенство M ≥ N − 3?
а) Решите уравнение
б) Числа выбираются случайным образом. Найдите вероятность того, что многочлен имеет действительные корни.
в) Докажите, что если не существует треугольника с длинами сторон a, b, c, то нет и треугольника со сторонами
г) Докажите, что треугольник ABC является прямоугольным тогда и только тогда, когда
а) Решите уравнение
б) Числа выбираются случайным образом. Найдите вероятность того, что многочлен имеет действительные корни.
в) Докажите, что если a, b, c — длины сторон некоторого треугольника, то из отрезков длиной также можно составить треугольник.
г) Дан треугольник ABC. Докажите, что если то он либо равнобедренный, либо прямоугольный.
В одной прямоугольной половине квадрата 20 × 20 проведена единичная окружность, центр которой удален не менее, чем на 3 единицы от ее границы. Случайным образом на второй половине, не видя первую окружность, рисуется такая же единичная окружность. Какова вероятность того, что существует квадрат, две противолежащие вершины которого принадлежат окружностям, а две другие — общей границе этих половин?
Дан квадратный стол размера 20×20, на котором проведена диагональ. В одном из рассматриваемых треугольников дана окружность радиуса 1, центр которой удален от границ этого треугольника не менее чем на 3. В другом треугольнике случайным образом, не видя другой половины квадрата, проводится такая же окружность. Доказать, что вероятность того, что существует квадрат, два противоположных угла которого лежат на окружностях, а два других на общей границе этих треугольников не превосходит 10%.
На каждой из прямых x = 0 и x = 2 отмечено по 62 точки с ординатами 1, 2, 3, ..., 62. Сколькими способами можно выбрать три точки из отмеченных 124 так, чтобы они являлись вершинами прямоугольного треугольника?
На каждой из прямых y = 0 и y = 2 отмечено по 64 точки с абсциссами 1, 2, 3, ..., 64. Сколькими способами можно выбрать три точки из отмеченных 128 так, чтобы они являлись вершинами прямоугольного треугольника?
На каждой из прямых y = 3 и y = 4 отмечено по 73 точки с абсциссами 1, 2, 3, ..., 73. Сколькими способами можно выбрать три точки из отмеченных 146 так, чтобы они являлись вершинами прямоугольного треугольника?
На каждой из прямых и отмечено по 58 точек с ординатами 1, 2, 3, ..., 58. Сколькими способами можно выбрать три точки из отмеченных 116 так, чтобы они являлись вершинами прямоугольного треугольника?
На каждой из прямых y = 1 и y = 6 отмечено по 200 точек с абсциссами
На каждой из прямых и отмечено по 400 точек с ординатами
На сторонах треугольника ABC отметили точки: 10 — на стороне AB, 11 — на стороне BC, 12 — на стороне AC. При этом ни одна из вершин треугольника не отмечена. Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?
На координатной плоскости рассматриваются квадраты, все вершины которых имеют натуральные координаты, а центр находится в точке (55; 25). Найдите количество таких квадратов.