Всего: 25 1–20 | 21–25
Добавить в вариант
Преобразовывая правую часть, получим 
Последняя дробь будет целым числом при n = 3 и n = 8, но последнее число не является решением (подставьте!).
после ее сокращения до несократимой (выражение 100! равно произведению первых 100 натуральных чисел: 100! = 1 · 2 · 3 · ... · 100).
после сокращения в знаменателе останется лишь 
—
—
и, значит, 
для некоторого натурального k. Если же n — нечетно, то B является точным квадратом тогда и только тогда, когда 
—
и, значит, 
для некоторого натурального k.
и 
Как обычно, n! обозначает произведение всех натуральных чисел, не превосходящих n. Например, 
то 
поэтому 
Пусть 
тогда число 
нечетное и, значит, 
то 
поэтому 
то 
поэтому 
Пусть теперь 
Запишем n в виде 2m, тогда 
Следовательно, n! делится на 
Тогда на n2 должно делиться и число 
Раскроем в выражении 
скобки, получится много слагаемых, в которых n входит хотя бы во второй степени, и добавка 
Но в этом случае 
и 
и 
вычислить: 
(
Способов рассадки, при которых пары 
Из первого множества убирая второе получим ответ.
делится на n! (как обычно, n! обозначает произведение всех натуральных чисел, не превосходящих n, например, 
на 5: 
дает остаток 0, 
дает остаток 3, 
дает остаток 0, 
дает остаток 1 и 
дает остаток 1. Следовательно, остаток числа 
не может делиться на 5. Поскольку при 
число n! делится на 5, числа 
так как 
и a и не делимость НОДа пары a и b на 9: 2 балла. Решение приведено без точного обоснования делимости на 9: снимаем 2 балла.
является полным квадратом 
Ответ обосновать.
оканчивается на 3. Действительно, 
а n! при 
и 
Пусть A — количество способов представить число 2018 в виде суммы факториалов натуральных чисел, а B — количество способов представить число 2019 в виде суммы факториалов натуральных чисел (наборы, отличающиеся перестановкой чисел, считаются одинаковыми). Докажите, что A = B.
—
Тогда равенство примет вид 
и является представлением числа 2018 в виде суммы факториалов натуральных чисел. То есть из каждого представления числа 2019 мы однозначно получили представление числа 2018. С другой стороны, взяв любое представление 
и добавив к нему 
получим однозначно представление 
тогда N кратно 7, обозначим 
Получим 
Запишем в виде вычитания столбиком и будем повторять найденные цифры N со сдвигом на 3 влево 
Можно ли из этой последовательности выбрать 2015 членов, произведение которых будет точным квадратом?
то
то есть число 
— натуральное. Тогда 
С другой стороны, по условию 
поэтому 
Отсюда 
и, значит, 
В этом случае исходное уравнение сводится к равенству 
Но 
при 
и так как 
то 
Таким образом, в предположении 
единственным решением уравнения будет набор 
При 
получаем ещё один набор 
В языке племени «Текимар» всего 7 букв: А, Е, И, К, М, Р, Т, однако не известно, каков их порядок в алфавите. Словом называется любая последовательность из семи различных букв алфавита, других слов в языке не существует. Глава племени выписал все существующие слова в алфавитном порядке и заметил, что слово «Метрика» в этом списке имеет номер 3634. Какой номер в этом списке имеет слово «Материк»?
Заметим, что количество слов, начинающихся с какой-то буквы, одинаковое для любой первой буквы, то есть оно равно 
Если слово начинается с первой в алфавитном порядке буквы, то нумерация любого такого слова начинается с номера 1 и заканчивается номером 6!, если со второй буквы в алфавите, то нумерация начинается с номера 
и заканчивается номером 
и так далее. В общем случае, если слово начинается с k-ой буквы в алфавите, то его нумерация варьируется от номера 
до номера 
Число 3634 удовлетворяет неравенству 
поэтому М является шестой буквой в алфавите. Теперь повторим аналогичный процесс для оставшихся шести букв. А именно, забудем про существование первой буквы, убрав её из слова. Тогда номер слова уменьшится на 
И если бы мы теперь составили все шестибуквенные слова и расставили бы их в алфавитном порядке, то слово «Етрика» имело бы номер 34. Количество слов, начинающихся с какой-то буквы, одинаковое для любой первой буквы, то есть оно равно 
Если первая буква слова среди оставшихся шести букв является первой в алфавитном порядке, то нумерация любого такого слова начинается с номера 1 и заканчивается номером 5!, если она является второй буквой в алфавитном порядке среди оставшихся, то нумерация начинается с номера 
и заканчивается номером 
и так далее. В общем случае, если первая буква слова является k-ой буквой в алфавитном порядке среди оставшихся, то его нумерация варьируется от номера 
до номера 
Число 34 удовлетворяет неравенству вышеуказанного представления следует, что 
!, поэтому Е является первой в алфавитном порядке буквой среди оставшихся, а значит первой буквой алфавита. Продолжая аналогичный процесс, получим порядок следования букв: Е — первая, А — вторая, Т — третья, Р — четвёртая, И — пятая, М — шестая, K — седьмая. В слове «Материк» буквы стоят в следующем порядке: 6, 2, 3, 1, 4, 5, 7, значит, его номер равен 
