Всего: 25 1–20 | 21–25
Добавить в вариант
или 
Hо по условию 
С другой стороны имеем, что 
или 
Тогда 
В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузу AC опушена высота BН. Точки X и Y — центры окружностей, вписанных в треугольники ABH и СВН соответственно. Прямая ХY пересекает катеты AB и BC в точках P и Q. Найдите площадь 
Отрезки HX и HY относятся как радиусы окружностей, вписанных в подобные треугольники AHB и BHC, поэтому 
то есть треугольник BPQ равнобедренный. Заметим, что треугольники PBX и НBX равны. Действительно, сторона BX у них общая, 
и 
и
и 
На столе стоят на основаниях три конуса, касаясь друг друга. Высоты у конусов одинаковые, а радиусы их оснований
и 
треугольник O1O2O3 является прямоугольным. В силу условия точка C равноудалена от точек касания оснований конусов. Тогда C лежит на пересечении биссектрис треугольника O1O2O3 и, значит, является центром его вписанной окружности, радиус которой равен 1. Вычисляя 
и 
двумя способами, мы получим 
B силу равенства высот конусов справедливо соотношение 
Поэтому 
Исключая 
мы получим 
если AB = BE.
то D является точкой пересечения медиан треугольника AEC. Тогда 
Так как треугольник AME прямоугольный, а MB его медиана, имеют места равенства 
и 
Тогда треугольники EBD и MBN равны по первому признаку, а тогда 
Отсюда ясно, 
Докажите, что 
счетом углов находим, что AD биссектриса 
На высоте AH остроугольного треугольника ABC отмечена точка L. Оказалось, что 
Точка P — основание перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую AL. Докажите, что прямая KL касается описанной окружности треугольника CLP.
(М. Стынян)
и 
и, значит, угол между прямыми KL и LF равен углу между прямыми LD и LG, таким образом, прямые KL и LF перпендикулярны. 
четырехугольник CLPF является описанным и отрезок LF является диаметром окружности, описанной вокруг него. Тогда отрезок LF является и диаметром описанной окружности треугольника CLP, а поскольку он перпендикулярен прямой KL, она является касательной к этой окружности. 
очевидно. Отсюда вытекает подобие треугольников ALH и BFC. Рассмотрим поворотную гомотетию с коэффициентом 
и углом 
переводящую треугольник ALH в треугольник BFC. Эта гомотетия точку K переведет в точку L, а точку L — в точку F. Поэтому прямые 
и 
перпендикулярны, так как переходят друг в друга. 
является диаметром окружности, а KL перпендикуляр, следовательно, касательная.
Равенство углов 
и 
(первое равенство из равенства отрезков касательных), откуда 
(первое равенство из равенства отрезков касательных, второе очевидно).
Аналогично, прямоугольным является и треугольник BIC.
и 
Следовательно, IK и IL — высоты в треугольниках AID и BIC соответственно. Воспользуемся известным фактом, что в прямоугольном треугольнике квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равняется произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу. Тогда 
а также 
По равенству отрезков касательных имеем 
откуда 
и 
Точки A1, B1, C1 — точки пересечения продолжений высот остроугольного треугольника ABC с описанной вокруг ABC окружностью. Окружность, вписанная в треугольник A1B1C1, касается одной из сторон ABC, а один из углов треугольника ABC равен 40°. Найдите два других угла треугольника ABC.
вписанная в A1B1C1, касается стороны BC. Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, K — точка касания 
и BC, L — точка касания ω и A1C1. Мы собираем доказать, что треугольник HBC1 — равносторонний. Тогда 
Кроме того, выше доказано, что 
то есть прямоугольные треугольники HC1L и HBK paвны по катету и острому углу. Поэтому 
Этот факт хорошо известен и может быть доказан различными способами. Приведём здесь лишь один из них. Заметим, что треугольники AHB и AC1B равны по стороне (общая сторона AB) и двум углам 
Точки A1, B1, C1 — точки пересечения продолжений высот остроугольного треугольника ABC с описанной вокруг ABC окружностью. Окружность, вписанная в треугольник A1B1C1, касается одной из сторон ABC, а один из углов треугольника ABC равен 50°. Найдите два других угла треугольника ABC.
и 
равны по стороне (общая сторон а AB) и двум углам 
(G — цетроид треугольника). Имеем 
Аналогично 
Из подобия треугольников BDE и BSC следует 
за полюс. Положим 
и 
Тогда 
и 
Отсюда 
и 
Дан равнобедренный треугольник ABC. На боковой стороне AB отметили такую точку M, что CM = AC. Затем на боковой стороне BC отметили такую точку N, что BN = MN, и провели биссектрису NH в треугольнике CNM. Докажите, что H лежит на медиане BK треугольника ABC.
и 
Значит, 
Точка M — середина стороны BC треугольника ABC. Касательные, проведённые из M к вписанной окружности треугольника ABC, касаются этой окружности в точках P, Q. Касательные из M к вневписанной окружности ABC, касающейся стороны BC, касаются этой окружности в точках R, S. Прямые PQ, RS пересекаются в точке X. Оказалось, что 
Найдите угол 
(оставляется читателю). Значит, все четыре точки P, Q, R, S лежат на окружности Г с центром M и радиусом PM.
в равнобедренном треугольнике высота AL является биссектрисой. Первый ключевой факт доказан.
— ортоцентр APR: 10 баллов.Два прямоугольника ABCD и AEFG имеют общую вершину А и расположены на плоскости так, что точки B, E, D и G лежат на одной прямой (в указанном порядке). Пусть прямые ВС и GF пересекаются в точке Т, а прямые СD и EF — в точке H. Докажите, что точки А, Н и T лежат на одной прямой.
Так как 
значит, 
следовательно, точки M, A и N лежат на одной прямой. Тогда H — ортоцентр треугольника TMN, а точки T, H и A лежат на его высоте.На сторонах BC, CA и AB неравнобедренного треугольника ABC выбраны точки L, M и N соответственно. Биссектриса угла ABC и серединный перпендикуляр к отрезку NL пересекаются в точке P. Известно, что 
и
Найдите длину отрезка MP.
и 
следуют равенства 
и 
соответственно, то 
и равнобедренность треугольника LPN, нетрудно найти углы 
и 
Применив теорему синусов, получим 
На сторонах BC, CA и AB остроугольного неравнобедренного треугольника ABC выбраны точки L, M и N соответственно. B треугольнике LMN проведена высота MP. Известно, что 
и что биссектриса угла ABC проходит через середину отрезка MP. Найдите величину угла ABC.
следует, что прямая MP — серединный перпендикуляр к отрезку LN; с учётом условия 
это означает, что Q — середина дуги NL описанной окружности треугольника NBL, причём дуга не содержит точку B. По
получаем равенство
и 
Величина угла СВТ равна 
В треугольнике АНС величины углов НАС и НСА тоже равны 
и 
Четырехугольник OBFC — параллелограмм, так как его диагонали точкой пересечения делятся пополам (по условию 
и 
по построению). В параллелограмме противоположные углы равны, следовательно, 
Отсюда 
откуда 2HM = BH. В сумме имеем 2CH = 2CM + 2HM = BC + BH. Теперь воспользуемся теоремой Пифагора: 
Тогда 
Теперь нетрудно завершить решение задачи: так как 
то 
по теореме Пифагора. Мы знаем 
откуда 
Получаем 
это значение совпадает с искомым 