Всего: 33 1–20 | 21–33
Добавить в вариант
(дуги), следовательно, треугольники BMX и ZAM подобны, поэтому 
(дуги), следовательно, треугольники AMY и BMZ подобны, поэтому 
Отсюда 
Окружности 
и 
касаются внешним образом в точке F, а их общая внешняя касательная касается окружностей и соответственно в точках A и B. Прямая l проходит через точку B, вторично пересекает окружность в точке C, а также 
Найдите длину отрезка HP и радиусы обеих окружностей.
следовательно, 
Тогда по теореме косинусов для треугольника BPH получаем 
а из первого следует, что 
Решая эту систему уравнений, находим, 
Окружности и касаются внешним образом в точке F, а их общая внешняя касательная касается окружностей и соответственно в точках A и B. Прямая l проходит через точку B, вторично пересекает окружность в точке C, а также 
Найдите длину отрезка HP и радиусы обеих окружностей.
а из первого следует, что 
Решая эту систему уравнений, находим, 
Окружности и касаются внешним образом в точке F, а их общая внешняя касательная касается окружностей и соответственно в точках A и B. Прямая l проходит через точку B, вторично пересекает окружность в точке C, а также 
и 
Найдите длину отрезка HP и радиусы обеих окружностей.
Тогда по теореме косинусов для треугольника BPH получаем 
и 
Опуская из точки Q высоту QH на основание AO, получаем прямоугольный треугольник OHQ, в котором 
а из первого следует, что 
Решая эту систему уравнений, находим, что 
и 
Окружности и касаются внешним образом в точке F, а их общая внешняя касательная касается окружностей и соответственно в точках A и B. Прямая l проходит через точку B, вторично пересекает окружность в точке C, а также пересекает в точках D и E (точка D расположена между C и E). Общая касательная окружностей, проходящая через точку F, пересекает прямые AB и BE в точках P и H соответственно (точка H лежит между точками P и F). Известно, что 
Найдите длину отрезка HP и радиусы обеих окружностей.
и 
Опуская из точки Q высоту QH на основание AO, получаем прямоугольный треугольник OHQ, в котором 
По теореме Пифагора получаем 
Решая эту систему уравнений, находим, что 
и 
В выпуклом четырёхугольнике ABCD проведена диагональ BD, и в каждый из полученных треугольников ABD и BCD вписана окружность. Прямая, проходящая через вершину B и центр одной из окружностей, пересекает сторону DA в точке M. При этом Аналогично, прямая, проходящая через вершину D и центр второй окружности, пересекает сторону BC в точке N. При этом
а) Найдите отношение AB : CD.
б) Найдите длины сторон AB и CD, если дополнительно известно, что данные окружности
касаются друг друга.
и 
Используя равенство отрезков касательной, проведённых к окружности из одной точки, получаем соотношения 
откуда 
и 
Точки A, B, C, D, E последовательно расположены на прямой, причём 
Окружности и 
касающиеся друг друга, таковы, что проходит через точки A и E, а проходит через точки B и C. Найдите радиусы окружностей и если известно, что их центры и точка D лежат на одной прямой.
то отрезок OC перпендикулярен OE. Опустим из точки Q перпендикуляр QH на прямую AE. Тогда 
(диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам). Пусть 
Тогда 
(так как OC — средняя линия треугольника DHQ), 
С другой стороны, из прямоугольной трапеции СНQO получаем, что 
последнее уравнение равносильно следующему: 
Точки A, B, C, D, E последовательно расположены на прямой, причём 
Окружности и касающиеся друг друга, таковы, что проходит через точки D и E, а проходит через точки B и C. Найдите радиусы окружностей и если известно, что их центры и точка A лежат на одной прямой.
Тогда 
(так как 
—
С другой стороны, из прямоугольной трапеции HTQO получаем, что 
последнее уравнение равносильно следующему: 
Две окружности касаются внешним образом в точке K. На их общей внутренней касательной отмечена точка P таким образом, что KP = 14. Через точку P к окружностям проведены две секущие, причем одна из них высекает на первой окружности хорду AB = 45, а другая — на второй окружности хорду CD = 21, причем точка A лежит между точками B и P, а точка C — между точками D и P. Найдите отношение BC : AD.
Кроме того, 
и 
подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Значит, 
Две окружности касаются внешним образом в точке K. На их общей внутренней касательной отмечена точка P таким образом, что KP = 18. Через точку P к окружностям проведены две секущие, причем одна из них высекает на первой окружности хорду AB = 48, а другая — на второй окружности хорду CD = 27, причем точка A лежит между точками B и P, а точка C — между точками D и P. Найдите отношение BC : AD.
Окружность, проходящая через вершины A и B треугольника ABC, пересекает стороны AC и BC в точках P и Q соответственно. Медиана из вершины C делит дугу PQ этой окружности пополам. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
(Д. Максимов)
—
и 
и 
—
Значит, 
и треугольники AKB и BCA равны по трем сторонам. Противоречие: один из двух равных треугольников не может лежать внутри другого.В угол 60° вписана окружность радиуса 1. Вторая окружность касается сторон угла и первой окружности. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и одной из сторон угла.
а CP = 3. Пусть радиус окружности с центром O2 равен R. Тогда 
Из прямоугольного треугольника с углом 30° O2CG получаем: CO2 = 2 · O2G, т. е. 3 + R = 2 · R, откуда R = 3. Найдём отрезок FG. Для этого проведём через центр первой окружности O1 перпендикуляр O1M на радиус O2G. Тогда в прямоугольном треугольнике O1MO2:
откуда: 
поэтому легко рассчитать все элементы чертежа, включая ответ. Так, R = 3, отрезок FG и искомый радиус равны:
или 
Дан острый угол BAD, где точка D отлична от A. На луче AB произвольным образом выбирается точка X, также отличная от A. Пусть P — точка пересечения касательных к описанной окружности треугольник ADX, проведенных в точках D и X. Найдите геометрическое место точек P.
Покажем, что такая точка X порождает P в соответствии с условием. Пусть 
Так как 
и прямой XP, поскольку 
Значит, точка X порождает точку P в соответствии с условием задачи. Случай 
разбирается аналогично.
—
см
см.
или 
или 
см,
Проведем прямую O2D параллельную прямой BC. В треугольнике O1DO2:
см.
см
см.
и 
Также по условию 
Тогда сумма углов четырехугольника BPQC равна 
Отсюда 
Поэтому 
и 
Таким образом, треугольник PMB подобен треугольнику MQC по трём углам. Откуда 
Что и требовалось доказать.Точка M — середина стороны BC треугольника ABC. Окружность ω проходит через точку A, касается прямой BC в точке M и пересекает сторону AB в точке D, а сторону AC — в точке E. Пусть X и Y — середины отрезков BE и CD соответственно. Докажите, что окружность, описанная около треугольника MXY, касается ω.
и 
Тогда 
откуда 
находим 
касающуюся окружности в точке R. Тогда по теореме об угле между хордой и касательной угол между прямой 
и отрезком PR тоже равен углу Q треугольника. Отсюда следует, что 
и 
На прямой l отмечены точки A, B и C. Точка B лежит между точками A и C и 
Две окружности 
и 
радиусы которых больше AB, но меньше BC, лежат по разные стороны от прямой l и касаются ее в точке B. Пусть K — точка пересечения касательной к 
проведенной из точки A, и касательной к проведенной из точки C, а L — точка пересечения касательной к проведенной из точки A, и касательной к проведенной из точки C. Докажите, что четырехугольник AKCL — описанный.
(Фольклор)
и 
касаются их в точках A1 и A2 соответственно, а касательные из точки C к окружностям 
Две кольцевой трассы 
и 
одинакового радиуса касаются друг друга. По трассе по часовой стрелке едет автомобиль A, по трассе против часовой стрелки едет автомобиль B. В момент старта автомобили A и B находятся нас одной прямой с центром трассы 
причем эта прямая касается трассы 
После старта автомобили начинают приближаться к точке касания трасс. Каждый автомобиль проезжает полный круг по своей трассе за один час (и никогда не переезжает на другую трассу). Сколько времени из этого часа расстояние между автомобилями будет не меньше диаметра каждой трассы?
Тогда координаты центров трасс α и β соответственно равны 
и (1; 0). Если t — время движения автомобилей от точки старта (в часах) и 
то через t часов после старта автомобили будут иметь координаты: 
и 
Тогда 
часа = 30 минут.Три окружности с центрами в точках A, B и C и радиусами 7, 5 и 4 соответственно касаются друг друга внешним образом в точках D, E и F. Найдите радиус окружности, проходящей через точки касания D, E и F.
