Всего: 82 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Тогда 
где 
Тогда 
и при 
где 
пар параллельных отрезков. 
пар параллельных отрезков. Этих наборов также 10. 
четырёхугольников. При таком способе подсчёта прямоугольники оказались учтены дважды. Заметим, что обе диагонали вписанного в окружность прямоугольника являются диаметрами, всего диаметров с вершинами в данных точках 10, и таким образом, выходит 
прямоугольников. Получаем 
четырёхугольников, имеющих хотя бы одну пару параллельных сторон.
делится нацело на 291 .
Значит, одно из чисел 
или 
делится на 97. Рассмотрим два случая.
т. е. 
Тогда получаем 
а второй — при 
т. е. 
откуда получаем, что 
Итак, условию задачи удовлетворяют числа, дающие остатки 193, 290, 98, 1 при делении на 291, то есть подходят каждые 4 из 291 подряд идущих чисел. Так как 
чисел.
то 
Остальные случаи разбираются аналогично. В итоге получаем 4 решения: 
При всевозможных 
эти окружности заметают 
Для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы «уголок», задаваемый первым уравнением, имел хотя бы одну общую точку с 
то есть 
Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Две окружности 
и 
равных радиусов с центрами O1 и O2 вписаны в углы BAD и BCD соответственно, при этом первая касается стороны AD в точке K, а вторая касается стороны BC в точке T.
а) Найдите радиус окружности 
если AK = 2, CT = 8.
б) Пусть дополнительно известно, что точка O2 является центром окружности, описанной около
треугольника BOC. Найдите угол BDC.
и 
являются биссектрисами углов BAD и BCD (центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла). Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность, сумма его противоположных углов BAD и BCD равна 
поэтому сумма их половин — углов 
и 
— равна 
Пусть 
Тогда 
получаем: 
как радиусы окружности, описанной около треугольника BOC, поэтому высота этого треугольника 
также является его медианой. Точки 
и T лежат на одной прямой (на серединном перпендикуляре к отрезку BC). Далее находим: 
и O могут лежать либо по одну сторону от прямой BC, либо по разные стороны от неё. 
б) 
или 
Тогда 
Учитывая условие, получаем 
Тогда 
и при 
Дан правильный 16-угольник M. Найдите количество четвёрок вершин этого 16-угольника, являющихся
вершинами выпуклых четырёхугольников, у которых есть хотя бы одна пара параллельных сторон.
Существуют ещё 7 хорд, параллельных ей (K5K8, и т. д.), т. е. получается набор из 8 параллельных друг другу хорд. Из них можно образовать 
пар параллельных отрезков. 
пар параллельных отрезков. Этих наборов также 8. В итоге получаем 
четырёхугольников, имеющих хотя бы одну пару параллельных сторон.
то есть 
Тогда получаем 
а второй — при 
откуда получаем, что 
и 
то есть 
и 
получаем 
то 
Остальные случаи разбираются аналогично. В итоге получаем 4 решения: 
При всевозможных 
эти окружности заметают 
Для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы «уголок», задаваемый первым уравнением, имел хотя бы одну общую точку с 
то есть 
Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Две окружности и равных радиусов с центрами O1 и O2 вписаны в углы ABC и ADC соответственно, при этом первая касается стороны BC в точке K, а вторая касается стороны AD в точке T.
а) Найдите радиус окружности если BK = 
DT = 
б) Пусть дополнительно известно, что точка O1 является центром окружности, описанной около треугольника BOC. Найдите угол BDC.
и 
являются биссектрисами углов ABC и ADC (центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла). Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность, сумма его противоположных углов ABC и ADC равна 180°, поэтому сумма их половин — углов 
и 
—
Тогда 
получаем: 
как радиусы окружности, описанной около треугольника 
поэтому высота 
этого треугольника также является его медианой. Точки O, O1 и K лежат на одной прямой (на серединном перпендикуляре к отрезку BC). Далее находим: 
и O могут лежать либо по одну сторону от прямой BC, либо по разные стороны от неё. 
Вместе с тем дуга 
равна углу BOC, a 
должна быть меньше дуги 
Рассмотрим два случая.
неравенство выполнено (получаем 0 = 0).
делим обе части неравенства на положительное число 
и получаем 
тогда 
Объединяя результаты, находим 
Найдите:
или 
откуда 
или 
а максимум — в точке, наиболее удалённой от 
обе части второго — на 
третьего на 
получаем систему 
получаем, что 
а разделив первое на третье — что 
Тогда второе уравнение принимает вид 
откуда 
— 2 балла.На стороне BC треугольника ABC взята точка M такая, что MC : BM = 5 : 2. Биссектриса данного треугольника BL и отрезок AM пересекаются в точке P под углом 90°.
а) Найдите отношение площади треугольника ABP к площади четырёхугольника LPMC.
б) На отрезке MC отмечена точка F такая, что FC : MF = 4 : 1. Пусть дополнительно известно, что прямые LF и BC перпендикулярны. Найдите угол CBL.
отрезок BP является биссектрисой и высотой, поэтому треугольник 
тогда 
По свойству биссектрисы треугольника, 
и 
общая высота, проведённая из вершины A, то 
Пусть 
Тогда из треугольника 
получаем, что 
а из треугольника BFL — что 
Приравнивая эти выражения для косинуса, находим, что 
откуда 
Поскольку каждый из множителей в левой части является целым числом, отсюда следует, что 
—
вариантов. Вторая система также имеет 9797 решений; итак, всего 19 594 решений.
В точке 
она принимает максимальное значение, равно 8. При увеличении x по модулю функция убывает и стремится к нулю при 
Если изменять b, то график сдвигается на 
единиц влево или вправо. При всевозможных 
графики этих функций заметают полосу 
Рассмотрим два случая.
неравенство выполнено (получаем 0 = 0).
делим обе части неравенства на положительное число 
и получаем 
тогда 
Объединяя результаты, находим 
Найдите:
или 
откуда 
или 
а максимум — в точке, наиболее удалённой от вершины, т. е. при 
)
б) 
